Python 数据结构与算法——图（Graph）

图结构（Graph）——算法学中最强大的框架之一。树结构只是图的一种特殊情况。

如果我们可将自己的工作诠释成一个图问题的话，那么该问题至少已经接近解决方案了。而我们我们的问题实例可以用**树结构（tree）**来诠释，那么我们基本上已经拥有了一个真正有效的解决方案了。

0. 常见数据结构定义

• 邻接表：

  class Graph:
  	def __init__(self, n_vertices):
  		self._n_vertices = n_vertices
  		self._adj = [[] for _ in range(n_vertices)]
  	def add_edge(self, s, t):
  		self._adj[s].append(t)
  

1. 邻接表及加权邻接字典

对于图结构的实现来说，最直观的方式之一就是使用邻接列表。基本上就是针对每个节点设置一个邻接列表。下面我们来实现一个最简单的：假设我们现有 n 个节点，编号分别为 0, …, n-1.

节点当然可以是任何对象，可被赋予任何标签或名称。但使用 0, …, n-1 区间内的整数来实现的话，会简单许多。因为如果我们能用数字来代表节点，我们索引起来显然要方便许多。

然后，每个邻接（邻居）列表都只是一个数字列表，我们可以将它们编入一个大小为 n 的主列表，并用节点编号对其进行索引。由于这些列表内的节点的顺序是任意的，所以，实际上，我们是使用列表来实现邻接集（adjacency sets）。这里之所以还是使用列表这个术语，主要是因为传统。幸运的是，Python 本身就提供独立的 set 类型。

我们以下图为例，说明图结构的各种表示方法（当我们在执行与图相关的工作时，需要反复遵从一个主题思想，即一个图的最佳表示方法应该取决于我们要用它来做什么）：

a, b, c, d, e, f, g, h = range(8)
N = [
    {b, c, d, e, f},
    {c, e},
    {d},
    {e},
    {f},
    {c, g, h},
    {f, h},
    {f, g}
]

在图论中，$N(v)$ 代表的是 $v$ 的邻居节点集；

>>> b in N[a]                 # neighborhood membership
True
>>> len(N[f])                 # out-degree：出度
3

<font color=“red”, size=“4px”>加权邻接字典

使用 dict 类型来代替 set 或 list 来表示邻接集。在 dict 类型中，每个邻居节点都会有一个键和一个额外的值，用于表示与其邻居节点（或出边）之间的关联性，如边的权重。

a, b, c, d, e, f, g, h = range(8)
N = [

    {b:2, c:1, d:3, e:9, f:4},
    {c:4, e:4},
    {d:8},
    {e:7},
    {f:5},
    {c:2, g:2, h:2},
    {f:1, h:6},
    {f:9, g:8}
]

客户端调用：

>>> b in N[a]                  # neighborhood membership
True
>>> len(N[f])                  # out-degree
3
>>> N[a][b]                    # Edge weight for (a, b)
2

邻接矩阵

邻接矩阵是图的另一种表示方法，这种表示方法的主要不同在于，它不再列出每个节点的所有邻居节点。

a, b, c, d, e, f, g, h = range(8)

N =[
    [0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0],
    [0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0],
    [0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1],
    [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1],
    [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0],
]

关于邻接矩阵：

• （1）主对角线为自己到自己，为0
• （2）行和为出度
• （3）列和为入度