拿金币 蓝桥杯--动态规划

1.动态规划基本概念

动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果

2.动态规划的基本思想

动态规划算法：通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式 。

3.具体实例-拿金币-问题描述

有一个N x N的方格,每一个格子都有一些金币,只要站在格子里就能拿到里面的金币。你站在最左上角的格子里,每次可以从一个格子走到它右边或下边的格子里。请问如何走才能拿到最多的金币。
输入格式
　　第一行输入一个正整数n。
　　以下n行描述该方格。金币数保证是不超过1000的正整数。
输出格式
　　最多能拿金币数量。
样例输入

3
1 3 3
2 2 2
3 1 2

样例输出

11
数据规模和约定
n<=1000

4.解题思路分析

我们使用一个二维组进行存储到达a[i][j]这点可以拿到金币的最大值，因为本题只能往下或者往右进行拿金币，所以我们到达a[i][j]点的方式只有两种：第一种，从a[i][j-1]到a[i][j]。第二种，从a[i-1][j]到达。所以我们求出到a[i][j-1] 和a[i-1][j]的最大值，然后加上a[i][j]这一点的金币，就是到达a[i][j]这点所能够拿到的最大值，一次进行递推，就可以递推到a[n][n]–终点。我们就可以用n的平方的时间复杂度求得，从起点到重点所能拿到的最大的金币数。

5.解题代码：

1.优化前：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const