【动态规划-中等】1641. 统计字典序元音字符串的数目

【题目】
给你一个整数 n，请返回长度为 n 、仅由元音 (a, e, i, o, u) 组成且按 字典序排列 的字符串数量。

字符串 s 按 字典序排列 需要满足：对于所有有效的 i，s[i] 在字母表中的位置总是与 s[i+1] 相同或在 s[i+1] 之前。

示例 1：

输入：n = 1
输出：5
解释：仅由元音组成的 5 个字典序字符串为 [“a”,“e”,“i”,“o”,“u”]

示例 2：

输入：n = 2
输出：15
解释：仅由元音组成的 15 个字典序字符串为
[“aa”,“ae”,“ai”,“ao”,“au”,“ee”,“ei”,“eo”,“eu”,“ii”,“io”,“iu”,“oo”,“ou”,“uu”]
注意，“ea” 不是符合题意的字符串，因为 ‘e’ 在字母表中的位置比 ‘a’ 靠后

示例 3：

输入：n = 33
输出：66045

提示：

1 <= n <= 50 

【代码】
【方法1：动态规划】

class Solution:
    def countVowelStrings(self, n: int) -> int:
        dp=[[1 for j in range(5)] for i in range(n)]
        for i in range(1,n):
            for j in range(5):
                dp[i][j]=sum(dp[i-1][j:])
        return sum(dp[-1])

【方法2：数学法】
这个问题的数学解法，可以把问题转换成将 n 个小球放到 5 个盒子里，盒子可以为空。
结论：
将 n 个小球放到 m 个盒子里，盒子不为空：C(n - 1, m - 1)；
将 n 个小球放到 m 个盒子里，盒子可以空：C(n + m - 1, m - 1)；

class Solution:
    def countVowelStrings(self, n: int) -> int:
        return (n+4)*(n+3)*(n+2)*(n+1)//24

【写法3：使用math.comb计算C(n,m)】

class Solution:
    def countVowelStrings(self, n: int) -> int:
        return math.comb(n+4,4)