新增道路查询后的最短距离

原创已于 2024-08-05 09:47:07 修改 · 593 阅读

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#python #开发语言 #leetcode

于 2024-08-04 21:57:53 首次发布

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今天看到很有意思的一个题目，记录下来，供大家参考

题目描述一

在这里插入图片描述

解题思路

为了解决这个问题，我们需要处理一系列的单向道路添加操作，并在每次添加后计算从城市 0 到城市 n-1 的最短路径长度。由于初始时每个城市 i 都有一条到 i+1 的单向道路，所以初始的最短路径长度就是 n-1（直接沿着这条链走）。

然而，当我们添加新的单向道路时，可能会缩短这个路径。为了高效地处理这些更新和查询，我们可以使用并查集（Union-Find）数据结构来维护城市之间的连通性和路径长度。但是，由于并查集通常不直接支持查询两点之间的最短路径长度，我们需要稍微修改一下这个数据结构或结合其他方法来达到目的。

然而，在这个特定的问题中，我们可以采用一种更简单但可能不是最优解的方法：使用图的遍历（如 Dijkstra 算法或 Floyd-Warshall 算法）来在每次添加新边后重新计算最短路径。由于题目中的 n 和 queries 的大小限制可能允许这种方法的实现（尽管可能不是最高效的），我们可以选择实现这种方法。

但考虑到实现的复杂性和效率，我将给出一个基于简单图遍历（而非完全优化的算法）的解答框架。对于更高效的解决方案，可能需要使用更复杂的图算法和数据结构。

下面是一个基于每次查询后重新计算最短路径的 Python 示例代码：

def find_shortest_path(n, queries):
    # 初始化图，由于初始时只有 i 到 i+1 的路，这里我们实际上不需要显式存储
    # 但为了处理查询，我们可以使用一个邻接表来存储图
    graph = [[] for _ in range(n)]
    for i in range(n - 1):
        graph[i].append(i + 1)

    def dijkstra(start):
        # 简单的 Dijkstra 实现
        distances = [float('inf')] * n
        distances[start] = 0
        visited = [False] * n
        
        from heapq import heappop, heappush
        priority_queue = [(0, start)]
        
        while priority_queue:
            current_distance, current_node = heappop(priority_queue)
            
            if visited[current_node]:
                continue
            
            visited[current_node] = True
            
            for neighbor in graph[current_node]:
                distance = current_distance + 1
                
                if distance < distances[neighbor]:
                    distances[neighbor] = distance
                    heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
        
        return distances[-1]  # 返回从 start 到 n-1 的最短距离

    result = []
    for query in queries:
        u, v = query
        # 添加新边
        graph[u].append(v)
        # 重新计算最短路径
        shortest_path_length = dijkstra(0)
        result.append(shortest_path_length)

    return result

# 示例
n = 5
queries = [[2, 3], [1, 4], [3, 1], [0, 4]]
print(find_shortest_path(n, queries))

注意：上述代码中的 Dijkstra 算法实现是为了简化问题而设计的，并没有进行过多的优化。在实际应用中，对于频繁更新和查询的图，可能需要考虑使用更高效的图算法和数据结构，如动态图算法或增量式最短路径算法。

此外，如果 n 和 queries 的规模非常大，上述方法可能会因为重复计算而效率较低。在这种情况下，可以考虑使用更高级的数据结构或算法，如使用边松弛技术结合优先队列来优化 Dijkstra 算法，或者考虑使用 Floyd-Warshall 算法（尽管其时间复杂度较高，但可以在常数时间内回答任意两点间的最短路径查询）。

题目描述二

在这里插入图片描述

为了解决这个问题，我们需要跟踪每次查询后从城市0到城市n-1的最短路径长度。由于题目保证查询不会形成环（即不存在两个查询满足queries[i][0] < queries[j][0] < queries[i][1] < queries[j][1]），我们可以利用这个特性来有效地更新路径长度。

解题思路

初始化：初始时，只有从城市i到城市i+1（0 <= i < n-1）的直接路径，因此从城市0到城市n-1的最短路径长度为n-1。
处理查询：对于每个查询[ui, vi]，我们需要更新从城市0到城市n-1的最短路径。这通常涉及到检查是否可以通过新添加的道路来缩短现有的最短路径。
路径更新：由于新添加的道路是从ui到vi的单向道路，我们需要检查是否可以通过这条新道路来绕过现有的某些路径段。这通常涉及到更新从城市0到vi的最短路径长度，如果通过ui到达vi比现有的更短，则进行更新。
结果记录：每次查询后，记录并返回从城市0到城市n-1的最短路径长度。

下面是一个修正后的版本，它直接在函数内部填充answer列表，并在函数结束时返回它：

def findShortestPath(n, queries):
    # 初始化最短路径为n-1（只有直线路径）
    shortest_path = n - 1
    
    # 创建一个数组来记录从城市0到每个城市的最短路径长度
    # 初始时，除了到自身的距离为0外，其余都是无穷大（因为还没有路）
    dist = [float('inf')] * n
    dist[0] = 0
    
    # 用于存储每次查询后的最短路径结果
    answer = []
    
    # 处理每个查询
    for q in queries:
        ui, vi = q
        
        # 更新从0到vi的最短路径（如果可能）
        if dist[ui] != float('inf') and (dist[vi] == float('inf') or dist[ui] + 1 < dist[vi]):
            dist[vi] = dist[ui] + 1
        
        # 更新最短路径（从0到n-1）
        shortest_path = min(shortest_path, dist[n-1])
        
        # 记录当前的最短路径
        answer.append(shortest_path)
    
    # 返回所有查询后的最短路径结果
    return answer

# 示例
n = 5
queries = [[2, 3], [0, 4], [3, 1], [3, 4]]
print(findShortestPath(n, queries))