最长公共子序列LCS（动态规划基础）

最新推荐文章于 2024-09-12 17:05:43 发布

Kunikda

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分类专栏：算法与数据结构文章标签： zk c 算法

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本文介绍了动态规划的基本概念，通过最长公共子序列(LCS)问题详细阐述了动态规划的四个步骤：判断最优子结构、构建递归解、计算LCS长度及构造LCS。并通过一个实例展示了如何实现LCS算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

动态规划并不是一种算法，而是一种解决问题的思路。典型的动态规划问题，如最长公共子序列（LCS），最长单调子序列（LIS）等。

动态规划分为四个步骤：

1.判断问题是否具有最优子结构

这里以LCS为例，X={x1,x2,...,xi}；Y={y1,y2,...,yj}。最长公共子序列Z={z1,z2,...,zk}；

①如果xi=yj，那么zk=xi=yj，且Zk-1是序列Xi-1和Yj-1的LCS；

②如果xi≠yj，那么zk≠xi；且Zk是序列Xi-1和Yj的LCS；

③如果xi≠yj，那么zk≠yj；且Zk是序列Xi和Yj-1的LCS；

可以用反证法证明上述子结构的成立。

2.一个递归解

设c[i,j]是Xi和Yj的LCS的长度，i=0或j=0时，c[i,j]=0;

c[i,j]=0 (i=0或j=0)

c[i,j]=c[i-1,j-1] (i,j>0;xi=yj)

c[i,j]=max{c[i-1,j],c[i,j-1]} (i,j>0;xi≠yj)

3.计算LCS的长度

c[i,j]为递归解，那么有多少个不同的递归解呢？O(m*n)。即要有重叠子问题，而不是每次都要解决新的问题。至于重叠子问题，需从底向上求。每次只需索引之前较小规模的子问题即可。

从底向上，求解c[i,j]。还需维护b[i][j]以简化最优解的结构。

例如，设所给的两个序列为X=<A，B，C，B，D，A，B>和Y=<B，D，C，A，B，A>。由算法LCS_LENGTH和LCS计算出的结果如图2所示。

y_j

┌

─

┐

x_i

│

↑

↖

│

←

│

↖

↑

↖

│

←

│

↑

↖

↑

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←

│

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↑

↖

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←

│

↑

↖

↑

│

↑

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↑

↖

│

↖

↑

↖

↑

│

└

─

┘

void LCS_LENGTH(char x[],char y[],const int len_x,const int len_y,int c[][ROW],int b[][ROW])
{
	int i,j;

	for(i=1;i<len_x;i++)
	{
		for(j=1;j<len_y;j++)
		{
			if(x[i]==y[j])
			{
				c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
				b[i][j]=3;	//3=="↖"
			}
			else
				if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
				{
					c[i][j]=c[i-1][j];
					b[i][j]=1;	//1=="↑"
				}
				else
				{
					c[i][j]=c[i][j-1];
					b[i][j]=2;	//2=="←"
				}
		}//for j
	}//for i

}

4.构造一个LCS

根据表b[i][j]构造LCS，

3=="↖"，表示x[i]在Zk中；

1=="↑"，表示x[i]不在Zk中，且向c[i][j]=c[i-1][j];

2=="←"，表示x[i]不在Zk中，且向c[i][j]=c[i][j-1];
void PRINT_LCS(int b[][ROW],char x[],int m,int n)
{
	if(m==0||n==0)
		return;

	if(b[m][n]==3)
	{
		PRINT_LCS(b,x,m-1,n-1);
		printf("%c\t",x[m]);
	}
	else if(b[m][n]==1)
	{
		PRINT_LCS(b,x,m-1,n);
	}
	else
	{
		PRINT_LCS(b,x,m,n-1);
	}
}