动态规划——LCS

最新推荐文章于 2025-06-10 16:20:37 发布

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分类专栏： C/C++ 常用算法文章标签：动态规划 LCS

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动态规划在解决最长公共子序列（LCS）问题时，通常涉及四个步骤：验证最优子结构、递归解法、计算LCS长度以及处理重叠子问题。以序列X和Y为例，当它们的对应元素相等时，LCS包含该元素；反之，LCS不包含。递归公式为c[i,j]=0 (i=0或j=0)，c[i,j]=c[i-1,j-1]+1 (xi=yj)，c[i,j]=max{c[i-1,j],c[i,j-1]} (xi≠yj)。通过从底向上计算c[i,j]，避免重复解决子问题。" 112688465,9952424,使用差分数组解决分苹果问题,"['数据结构', '算法', 'C++']

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动态规划分为四个步骤：
1.判断问题是否具有最优子结构
这里以LCS为例，X={x1,x2,…,xi}；Y={y1,y2,…,yj}。最长公共子序列Z={z1,z2,…,zk}；
①如果xi=yj，那么zk=xi=yj，且Zk-1是序列Xi-1和Yj-1的LCS；
②如果xi≠yj，那么zk≠xi；且Zk是序列Xi-1和Yj的LCS；
③如果xi≠yj，那么zk≠yj；且Zk是序列Xi和Yj-1的LCS；

2.一个递归解
设c[i,j]是Xi和Yj的LCS的长度，i=0或j=0时，c[i,j]=0;
c[i,j]=0 (i=0或j=0)
c[i,j]=c[i-1,j-1] + 1 (i,j>0;xi=yj)
c[i,j]=max{c[i-1,j],c[i,j-1]} (i,j>0;xi≠yj)

3.计算LCS的长度
c[i,j]为递归解，那么有多少个不同的递归解呢？O(m*n)。即要有重叠子问题，而不是每次都要解决新的问题。至于重叠子问题，需从底向上求。每次只需索引之前较小规模的子问题即可。
从底向上，求解c[i,j]。

#include <list>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;

int lcg_length(const string &X, const string &Y)
{
    if(X.empty() || Y.empty())
        return 0;
    int m = X.size();
    int n = Y.size();
    vector<vector<int>> c;
    for(int i = 0; i < m+1; ++ i)
    {
        vector<int> tmp(n+1, 0);
        c.push_back(tmp);
    }
    for(int i = 1; i <= m; ++ i) 
    {
        for(int j = 1; j <= n; ++ j)
        {
            if(X.at(i-1) == Y.at(j-1))
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
            else {
                c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1]);
            }
        }
    }
    return c[m][n];
}
int main()
{
    int len = lcg_length("ABCBDAB", "BDCABA");
    system("pause");
    return 0;
}