Python实现简单的神经网络

从零开始学习神经网络

搭建基本模块—神经元

在说神经网络之前，我们讨论一下神经元（Neurons），它是神经网络的基本单元。神经元先获得输入，然后执行某些数学运算后，再产生一个输出。比如一个2输入神经元的例子：

在这个神经元里，输入总共经历了3步数学运算，
先将输入乘以权重（weight）：
$x_1\to x_1\ast w_1$
$x_2\to x_2\ast w_2$
$(x_1\ast w_1)+(x_2\ast w_2)+b$
最后经过激活函数（activation function）处理得到输出：
$y=f((x_1\ast w_1)+(x_2\ast w_2)+b)$
激活函数的作用是将无限制的输入转换为可预测形式的输出。一种常用的激活函数是sigmoid函数：

sigmoid函数的输出介于0和1，我们可以理解为它把 (−∞,+∞) 范围内的数压缩到 (0, 1)以内。正值越大输出越接近1，负向数值越大输出越接近0。
举个例子，上面神经元里的权重和偏置取如下数值：$w=[0,1];b=4$
$w=[0,1]$是$w_1=0,w_2=1$的向量形式写法。给神经元一个输入$x=[2,3]$，可以用向量点积的形式把神经元的输出计算出来：
$w\ast x+b=(x_1\ast w_1)+(x_2\ast w_2)+b=0\ast 2+1\ast 3+4=7$
$y=f(w\ast X+b)=f(7)=0.999$
以上步骤的Python代码是：

import numpy as np

def sigmoid(x):
    # our activation function: f(x) = 1 / (1 * e^(-x))
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

class Neuron():
    def __init__(self, weights, bias):
        self.weights = weights
        self.bias = bias
        
    def feedforward(self, inputs):
        # weight inputs, add bias, then use the activation function
        total = np.dot(self.weights, inputs) + self.bias
        return sigmoid(total)
    
weights = np.array([0, 1]) # w1 = 0, w2 = 1
bias = 4
n = Neuron(weights, bias)

# inputs
x = np.array([2, 3])   # x1 = 2, x2 = 3
print(n.feedforward(x)) # 0.9990889488055994

搭建神经网络

神经网络就是把一堆神经元连接在一起，下面是一个神经网络的简单举例：

这个网络有2个输入、一个包含2个神经元的隐藏层（h1和h2）、包含1个神经元的输出层o1。
隐藏层是夹在输入输入层和输出层之间的部分，一个神经网络可以有多个隐藏层。
把神经元的输入向前传递获得输出的过程称为前馈（feedforward）。
我们假设上面的网络里所有神经元都具有相同的权重$w=[0,1]$和偏置$b=0$，激活函数都是$sigmoid$，那么我们会得到什么输出呢？
$h_1=h_2=f(w\ast x+b)=f((0\ast 2)+(1\ast 3)+0)=f(3)=0.9526$
$o_1=f(w\ast [h_1,h_2]+b)=f((0\ast h_1)+(1\ast h_2)+0)=f(0.9526)=0.7216$
以下是实现代码：

class OurNeuralNetworks():
    """
    A neural network with:
      - 2 inputs
      - a hidden layer with 2 neurons (h1, h2)
      - an output layer with 1 neuron (o1)
    Each neural has the same weights and bias:
      - w = [0, 1]
      - b = 0
    """
    def __init__(self):
        weights = np.array([0, 1])
        bias = 0
        
        # The Neuron class here is from the previous section
        self.h1 = Neuron(weights, bias)
        self.h2 = Neuron(weights, bias)
        self.o1 = Neuron(weights, bias)
        
    def feedforward(self, x):
        out_h1 = self.h1.feedforward(x)
        out_h2 = self.h2.feedforward(x)

        # The inputs for o1 are the outputs from h1 and h2
        out_o1 = self.o1.feedforward(np.array([out_h1, out_h2]))
        return out_o1
        
network = OurNeuralNetworks()
x = np.array([2, 3])
print(network.feedforward(x)) # 0.7216325609518421

训练神经网络

现在我们已经学会了如何搭建神经网络，现在再来学习如何训练它，其实这是一个优化的过程。
假设有一个数据集，包含4个人的身高、体重和性别：

Name	Weight (lb)	Height (in)	Gender
Alice	133	65	F
Bob	160	72	M
Charlie	152	70	M
Diana	120	60	F

现在我们的目标是训练一个网络，根据体重和身高来推测某人的性别。

为了简便起见，我们将每个人的身高、体重减去一个固定数值，把性别男定义为1、性别女定义为0。

Name	Weight (减去135)	Height (减去66)	Gender
Alice	-2	-1	0
Bob	25	6	1
Charlie	17	4	1
Diana	-15	-6	0

在训练神经网络之前，我们需要有一个标准定义它到底好不好，以便我们进行改进，这就是损失（loss）。
比如用均方误差（MSE）来定义损失：
$MSE=$