线性回归算法梳理（从理论到示例）

1、机器学习的一些概念

• 有监督、无监督：

  有监督机器学习又被称为“有老师的学习”，所谓的老师是指标签。监督学习就是最常见的分类（注意和聚类区分）问题，通过已有的训练样本（即已知数据及其对应的输出）去训练得到一个最优模型（这个模型属于某个函数的集合，最优表示某个评价准则下是最佳的），再利用这个模型将所有的输入映射为相应的输出，对输出进行简单的判断从而实现分类的目的。也就具有了对未知数据分类的能力。
  
  无监督机器学习被称为“没有老师的学习”，无监督相比于有监督，输入数据没有被标记，也没有确定的结果。样本数据类别未知，需要根据样本间的相似性对样本集进行分类（聚类，clustering）试图使类内差距最小化，类间差距最大化。通俗点将就是实际应用中，不少情况下无法预先知道样本的标签，也就是说没有训练样本对应的类别，因而只能从原先没有样本标签的样本集开始学习分类器设计。

• 泛化能力：

  泛化能力（generalization ability）是指一个机器学习算法对于没有见过的样本的识别能力。我们也叫做举一反三的能力，或者叫做学以致用的能力。举个例子，小学生先通过学习十以内的加减乘除，知道什么是四则运算和怎么具体去算数，以后遇到百以内或者千以内的数字也知道怎么去做四则运算。我们只教会他十以内的运算，他自己就能推广到百以内或者千以内的运算，这种能力就是泛化能力。

• 过拟合与欠拟合（方差和偏差以及各自的解决办法）：

  过拟合：小学生学习四则运算，老师教过1+1=2，那么学生只记住了1+1=2，以后做题的时候碰到1+1知道答案是2，但是碰到10+10就不知道怎么计算答案，学生只是死记硬背1+1的答案是2，没理解四则运算的规律，不会推广到10+10，也就是泛化能力非常低，同时我们也把这种现象叫做过拟合（over-fitting）了。
  过拟合是一种分类器会发生的现象，而泛化能力可以理解为对分类器的一种性能的评价，过拟合表现为算法模型的高方差，模型训练时的结果很好，但是在预测时结果不好。
  产生过拟合的原因：模型的复杂度太高，比如：网络太深；过多的变量（特征）；训练数据非常少。
  避免过拟合的方法有很多：（1）尽量减少特征的数量、（2）early stopping、（3）数据集扩增、（4）dropout、（5）正则化包括L1、L2、（6）清洗数据。
  
  欠拟合under-fitting）是和过拟合相对的现象，可以说是模型的复杂度较低，没法很好的学习到数据背后的规律。就好像开普勒在总结天体运行规律之前，他的老师第谷记录了很多的运行数据，但是都没法用数据去解释天体运行的规律并预测，这就是在天体运行数据上,人们一直处于欠拟合的状态，只知道记录过的过去是这样运行的，但是不知道道理是什么。
  欠拟合指的是模型不够复杂，没有很好地捕捉到数据特征，不能够很好地拟合数据，对应模型的高偏差。
  解决欠拟合可以从寻找更好的特征（具有代表性的）和使用更多的特征（增大输入向量的维度）。具体的方法：1、添加更多的特征项（比如上下文特征、位置特征等）；2、添加多项式特征（例如将线性模型通过添加二次项或者三次项使模型泛化能力更强）；3、减少正则化参数，正则化的目的是用来防止过拟合的，但是现在模型出现了欠拟合，则需要减少正则化参数。

• 交叉验证：

  一个交叉验证将样本数据集分成两个互补的子集，一个子集用于训练（分类器或模型）称为训练集（training set）；另一个子集用于验证（分类器或模型的）分析的有效性称为测试集（testing set）。利用测试集来测试训练得到的分类器或模型，以此作为分类器或模型的性能指标。得到高度预测精确度和低的预测误差，是研究的期望。为了减少交叉验证结果的可变性，对一个样本数据集进行多次不同的划分，得到不同的互补子集，进行多次交叉验证。取多次验证的平均值作为验证结果。
  用交叉验证的目的是为了得到可靠稳定的模型。

2、线性回归的原理

线性回归为何叫线性？实际上，像在处理Google的股票统计数据时，我们使用线性回归是在这堆数据所在的N维空间中找到一条线来描述这些数据的规律，因此才叫线性回归。这个过程称为拟合，这条线成为拟合线。
这条拟合线上的某个数据点或多或少都会偏离实际统计的值。实际统计数据和拟合线对应数据的差叫残差。很明显，残差可以反映模型的预测误差。
但是残差有正有负的，不方便计算。而且实际运用中我们不需要关注残差的正负，因为正负并不能描述误差的大小程度。为了降低计算复杂性，我们使用这个差值的平方进行计算。你可能会想到，差值的平方不是把差值给改了吗，没关系吗？答案是：数据确实变了，但没影响。因为我们真正使用的是残差的绝对值，用它描述误差大小的程度，而对这个绝对值进行平方后有同样的效果，毕竟$y=|x|$ 与$y=x^2$有同样的单调性。

结合上述平方的想法，为了让预测更加准确，我们应该选择一条线，能够使得线上每个点与实际数据的残差平方的总和最小。这样的线才能叫最佳拟合线。直观理解，线性回归其实就是这么一条直线。

3、线性回归的目标函数、损失函数(代价函数)

线性回归试图学得$f(x_i)=w\ast x_i+b$（目标函数）使得$f(x_i)\simeq y_i$，如何确定$w$和$b$呢？关键在于如何衡量$f(x)$与$y$之间的差别。
均方误差是回归任务中常用的性能度量，因此我们试图让均方误差（损失函数，或代价函数）最小化，即
$(w^{\ast },b^{\ast })=argmi{n}_{(w,b)}{\sum }_{i=1}^m(f(x_i)-y_i{)}^2=argmi{n}_{(w,b)}{\sum }_{i=1}^m(y_i-w{x}_i$