逻辑回归算法梳理（从理论到示例）

逻辑回归算法的名字里虽然带有“回归”二字，但实际上逻辑回归算法是用来解决分类问题的算法。线性回归和逻辑回归相当于一对“孪生兄弟”，本文将从二分类入手，介绍逻辑回归算法的预测函数、损失函数（成本函数）和梯度下降算法公式，然后由二分类延伸到多分类的问题，接下来介绍正则化，即通过数学的手段来解决模型过拟合问题，最后用一个乳腺癌检测的实例及其模型性能优化来结束全文。各位朋友在看这篇博客的时候，根据提示不断联想线性回归与逻辑回归的区别与联系。

1 逻辑回归算法的原理

假设有一场球赛，我们有两支球队的所有出场球员信息、历史交锋成绩、比赛时间、主客场、裁判和天气等信息，根据这些信息预测球队的输赢。假设比赛结果记为$y$，赢球标记为1，输球标记为0，这就是一个典型的二元分类问题，可以用逻辑回归算法来解决。
从这个例子里可以看出，逻辑回归算法的输出 y ∈ { 0 , 1 } {y \in \{0,1}\} y∈{ 0,1}是个离散值，这是与线性回归算法的最大区别。

1.1 预测函数

需要找出一个预测函数模型，使其值输出在$[0,1]$之间。然后选择一个基准值，如$0.5$，如果算出来的预测值大于$0.5$，就认为其预测值为1，反之则其预测值为0。我们选择$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$来作为预测函数。函数$g(z)$称为$Sigmoid$函数，也称为$Logistic$函数。图像如下：

当$z=0$时，$g(z)=0.5$。
当$z>0$时，$g(z)>0.5$，当$z$越来越大时，$g(z)$无限接近于$1$。
当$z<0$时，$g(z)<0.5$，当$z$越来越小时，$g(z)$无限接近于$0$。
这正是我们想要的针对二元分类算法的预测函数。
问题来了，怎样把输入特征和预测函数结合起来呢？
结合线性回归函数的预测函数$h_{\theta }(x)={\theta }^{T}x$，假设令$z(x)={\theta }^{T}x$，则逻辑回归算法的预测函数如下：
$h_{\theta }(x)=g(z)=g({\theta }^{T}x)=\frac{1}{1+e^{-{\theta }^{T}x}}$。下面解读预测函数。
$h_{\theta }(x)$表示在输入值为$x$，参数为$\theta$的前提下$y=1$的概率。用概率论的公式可以写成：$h_{\theta }(x)=P(y=1|x,\theta )$，即在输入$x$及参数$\theta$条件下$y=1$的概率。由条件概率公式可以推导出
$P(y=1|x,\theta )+P(y=0|x,\theta )=1$
对二分类来说，这是一个非黑即白的世界。

1.2 判定边界

逻辑回归算法的预测函数由以下两个公式给出：
$h_{\theta }(x)=g({\theta }^{T}x)$ 和 $g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$
假定$y=1$的判定条件是$h_{\theta }(x)\ge 0.5$，$y=0$的判定条件是$h_{\theta }(x)\le 0.5$，所以${\theta }^{T}x=0$就是我们的判定边界。
假定有两个变量$x_1，x_2$，其逻辑回归预测函数是 h θ ( x ) = g ( θ 0 + θ 1 x 1 + θ