16、数学知识与应用全解析

数学知识与应用全解析

1. 三角函数与单位圆

1.1 三角函数基础

三角函数主要研究直角三角形，通过三角函数可将直角三角形的一个角与它的两条边长之比联系起来。直角三角形的斜边可由勾股定理计算：(c^2 = a^2 + b^2)。常见的三角函数有余弦（(\cos)）、正弦（(\sin)）和正切（(\tan)），其定义如下：
- (\cos\theta = \frac{adjacent}{hypotenuse} = \frac{b}{c})
- (\sin\theta = \frac{opposite}{hypotenuse} = \frac{a}{c})
- (\tan\theta = \frac{opposite}{adjacent} = \frac{a}{b} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta})

若已知三角形的边长，可通过三角函数的逆运算计算角度(\theta)，表示为：
- (\theta = \cos^{-1}(\frac{b}{c}) = \sin^{-1}(\frac{a}{c}) = \tan^{-1}(\frac{a}{b}))
- (\theta = \arccos(\frac{b}{c}) = \arcsin(\frac{a}{c}) = \arctan(\frac{a}{b}))

1.2 单位圆

单位圆是以原点为圆心，半径为(1)的圆。在笛卡尔平面上，圆上任意一点的坐标((x, y))可表示为：
- (x = r\cos\theta)
- (y = r\sin\theta)

角度可以用度（(^{