3、量子计算的初步数学工具

量子计算的初步数学工具

在研究量子信息时，一些基础的数学概念和工具是必不可少的，它们是描述量子信息语言的基石，贯穿于整个研究过程。本文主要介绍两个重要的数学工具：复数和概率。

复数

我们日常使用的“普通”数字位于一维的实数轴上，这些数可以是整数、有理数（两个整数的比值，如 2/3）或无理数（不能表示为两个整数比值的数，像 π ≈ 3.14159 、e ≈ 2.71828 ）。然而，实数轴无法包含负数的平方根，例如 √−1。但在物理学中，计算负数平方根的结果却有着重要作用。

为了包含负数平方根的结果，我们需要在实数轴的基础上增加一个新的维度或轴，这个新轴包含的数就是虚数，用实数乘以 i 表示，例如 i、2i、3i 等。我们定义虚轴上的一个单位为 √−1 = i，由此可得 i² = −1，i³ = −i，i⁴ = 1 等等。

将实轴和虚轴结合，就形成了复数平面，任何落在这个平面上的点都是一个复数，即数可以同时具有实部和虚部。

标准表示

设两个复数 z₁ = a + bi，z₂ = c + di，其中 a 和 c 是实部，b 和 d 是虚部，它们具有以下性质：
1. 加法 ：z₁ + z₂ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。
2. 乘法 ：z₁z₂ = (a + bi)(c + di) = ac - bd + i(ad + bc)。
3. 共轭 ：对于 z₁ = a + bi，其共轭为 z₁ = a - bi，且 z₁z