简单数论听课总结（欧几里得算法）

一、欧几里得算法

1、欧几里得算法：欧几里得算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

2、欧几里得算法定理:

(1)定理:gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

(2)证明：a可以表示成a=kb+r,则r=a mod b

  假设d是a,b的一个公约数，则有a|d,b|d,而r=a-kb,因此r|d,因此d是（b,a mod b）的公约数，证明充分性；

  假设d是（b,a mod b）的公约数，则b|d，r|d,但是a=kb+r,因此d也是（a,b）的公约数，证明必要性。

因此（a,b）和（b,a mo b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等。

3、欧几里得算法代码

int gcd(int a,int b)

{if(b==0)

return a;

return gcd(b,a%b);

}

4、扩展欧几里得算法

用来在已知a,b求解一组x,y使得a*x+b*y=gcd(a,b).（根据数论中的相关定理，解一定存在。）扩展欧几里得常用在求解模线性方程及方程组中。

5、扩展欧几里得算法代码

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)

{if(b==0){

x=1;

y=0;

return a;}

int r=exgcd(b,a%b,x,y);

int t=x;

x=y;

y=t-a/b*y;

return r;

}

6、扩展欧几里得实现原理

对于上面的代码：

a'=b,b'=a%b而言，我们求得x,y使得a'x+b'y=gcd(a',b'),由于b'=a%b=a-a/b*b,(这里的/是程序设计语言中的除法）那么可以得到：a'x+b'y=gcd(a',b')===>bx+(a-a/b*b)y=gcd('=a',b')=gcd(a,b)===>ay+b(x-a/b*y)=gcd(a,b)

因此对于a和b而言，他们的相对应的p,q分别是y和（x-a/b*y）.

7、解x,y的值

解x,y的方法的理解：

（1）显然当b=0,gcd(a,b)=a.此时x=1,y=0;也就是1*a+0*b=a

(2)设ax1+by1=gcd(a,b);在下一个exgcd里bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);根据欧几里得原理有gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);则ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;根据恒等定理得：x1=y2,y1=x2-(a/b)*y2;这样我们就得到解x1,y1 的值基于x2,y2.