数论算法

最新推荐文章于 2023-04-18 14:30:49 发布

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分类专栏：算法学习之路文章标签：欧几里得算法线性筛素数欧拉函数快速幂

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_42549254/article/details/90374066

本文深入探讨了数论中的重要算法，包括欧几里得算法用于求最大公约数，扩展欧几里得算法解决裴蜀定理，线性筛素数用于高效筛选质数，欧拉函数及其性质，以及快速幂算法进行高效幂运算。每个算法都配合有C++实现，详述其时间复杂度和应用。

1. 欧几里得算法

求两个正整数的最大公约数，时间复杂度 O(logn)。

C++ 代码

int gcd(int a, int b)
{
   
   
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

2. 扩展欧几里得算法

裴蜀定理：若 a,b是整数,且 (a,b)=d，那么对于任意的整数 x,y,ax+by 都一定是 d 的倍数，特别地，一定存在整数 x,y，使 ax+by=d 成立。

扩展欧几里得算法可以在 O(logn)的时间复杂度内求出系数 x,y。

C++ 代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
   
   
    if (!b)
    {
   
   
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y

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