76、凸形状高效偏心率变换分解与简单立方体曲线中的欧几里得最短路径

凸形状高效偏心率变换分解与简单立方体曲线中的欧几里得最短路径

凸形状高效偏心率变换分解

在处理凸形状的偏心率变换时，我们可以通过对基本形状进行分解来加速计算。这里主要研究了一种细长形状的分解情况。

细长形状的定义

细长形状 (S) 是由一个矩形 (R) 的两条对边分别与两个半椭圆 (E_l) 和 (E_r) 拼接而成。假设矩形 (R) 的宽度为 (2w)，高度为 (2h)；半椭圆 (E_l) 由参数 (a_l) 和 (h) 定义，半椭圆 (E_r) 由参数 (a_r) 和 (h) 定义。

对称形状的分解

当 (a = a_l = a_r) 时，形状 (S) 是对称的。我们可以沿着切割线 (C = [(0, -h), (0, h)]) 对其进行分解。
- 当 (a \geq h) 时 ：可以将之前的性质扩展到细长形状。对于 (S_l) 中的任意点 (p)，其偏心点 (p_e) 在 (S_r) 中，并且与椭圆在 (p_e) 处的切线正交。同时，(p_e) 是 (p) 的唯一偏心点。我们可以分别在 (S_l) 和 (S_r) 中计算 (C) 上所有点的偏心率和偏心路径方向。对于 (S_l) 中的所有点 (p)，其偏心率 (ECCS(p) = d(p, p_c) + ECC_{S_r}(p_c))，其中 (p_c \in C)，并且 ((p, p_c)) 与 (p_c) 在 (S_r) 中的偏心路径方向相同。这些结果可以直接扩展到 (S_r) 中的点。为了找到 (C) 在 (S_l) 和 (S_r) 中的偏心率和偏心路径方向，可以将 (S_l) 和 (S_r) 分解为半椭圆和矩形 (R) 的一