14、递归While程序的摘要分析

递归While程序的摘要分析

1. 递归程序的抽象表示

在处理递归的While程序时，我们需要一套抽象的表示方法。假设存在一个任意但固定的程序P，它具有以下结构：
- 模块结构 ：程序P由一组模块 ${M_0, \cdots, M_m}$ 组成。每个模块 $M_j$ 有其对应的位置集合 $Loc_j$，并且有两个特殊位置：入口位置 $entry_j$ 和出口位置 $exit_j$。
- 命令和调用 ：
- 模块中的每个命令是一个三元组 $(\ell_1, c, \ell_2)$，其中 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 是模块的位置（执行前后的位置），$c$ 是转换约束，它是关于带撇和不带撇程序变量的公式。
- 每个模块调用是一个三元组 $(\ell_1, k, \ell_2)$，其中 $\ell_1$ 是调用位置，$\ell_2$ 是返回位置，$k$ 是被调用模块的索引（$k \in {0, \cdots, m}$）。
- 变量和状态 ：
- 程序变量集合为 $Var$，通常在无界数据域上取值，$Var’$ 包含程序变量的带撇版本。
- 辅助变量程序计数器 $pc$，其取值范围是所有模块位置的有限集合 $Loc$（$Loc = Loc_0 \cup \cdots \cup Loc_m$）。
- 程序估值（状态）$s$ 是对程序变量和程序计数器的赋值，即 $s$ 是从 $Var \cup {pc}$ 到数据域并集的映射，所有程序估值的集合记为 $\Sigma$。
- 配置 ：配