7、程序分析中的Herbrand等式与模运算分析

程序分析中的Herbrand等式与模运算分析

1. 引言

在程序分析领域，自动寻找程序中的线性不变式是一个长期被研究的问题。然而，主流编程语言（如Java和C）在进行整数运算时采用模2的幂运算（即整数类型的运算结果对$m = 2^w$取模，其中$w$根据数据类型而定），这给传统的线性不变式分析带来了挑战。

1.1 传统分析的局限性

大多数传统分析方法将变量解释为来自某个域（如有理数集$Q$或$Z_p$，其中$p$为素数）的成员，这使得它们难以检测出在模2的幂运算下成立的线性不变式。例如，对于以下Java程序：

class Eins {
    public static void main(String [] argv) {
        int x = 1022611261; int y = 0;
        if (argv.length > 0) {
            x = 1; y = 20;
        }
        System.out.println("" + (21*x-y));
    }
}

除了Granger的分析方法外，其他传统分析方法都无法发现线性不变式$21 \cdot x - y = 1$在程序终止时成立。这是因为Java在进行整数运算时对$m = 2^{32}$取模，而$21 * 1022611261 = 1$（模$2^{32}$）。

1.2 本文的解决方案

本文提出了一种新的分析方法，包括过程内和过程间分析，该方法不仅在模2的幂运算下是可靠的，而且在一定抽