71、自动微分与其他流行的人工神经网络架构

自动微分与其他流行的人工神经网络架构

1. 自动微分方法概述

在许多优化算法中，我们常常需要计算函数的偏导数。以函数 (f(x, y) = x^2y + y + 2) 为例，我们需要计算 (\frac{\partial f}{\partial x}) 和 (\frac{\partial f}{\partial y})。常见的计算偏导数的方法有手动微分、有限差分近似、前向模式自动微分和反向模式自动微分。

1.1 手动微分

手动微分是指使用微积分知识，通过纸笔推导来计算导数。对于函数 (f(x, y) = x^2y + y + 2)，我们可以使用以下规则来计算偏导数：
1. 常数的导数为 0。
2. (\lambda x) 的导数为 (\lambda)（(\lambda) 为常数）。
3. (x^\lambda) 的导数为 (\lambda x^{\lambda - 1})，所以 (x^2) 的导数为 (2x)。
4. 函数和的导数等于各函数导数的和。
5. (\lambda) 乘以函数的导数等于 (\lambda) 乘以该函数的导数。

根据这些规则，我们可以得到：
(\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial (x^2y)}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial x} + \frac{\partial 2}{\partial x} = 2xy + 0 + 0 = 2xy)
(\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial (x^2y)}{\partia