机器学习与统计模型理论解析

1、证明对于每个分类规则Ψn，存在另一个分类规则Ψ′n，其分类误差为ε′n，以及一个特征 - 标签分布PX,Y（其中ε∗ = 0），使得对于所有的n，都有E[ε′n] < E[εn]。

提示：找到一个特征 - 标签分布PX,Y，使得X集中在Rd上的有限个点上，且Y是X的确定性函数。

2、在标准抽样情况下，对于i = 1, …, n，有P(Yi = 0) = p0 = P(Y = 0) 且P(Yi = 1) = p1 = P(Y = 1)。证明在单独抽样情况下，样本被分为两部分，其中一部分样本数量为n0，标签为0；另一部分样本数量为n1，标签为1，且n = n0 + n1 ，对于i = 1, …, n，有P(Yi = 0 | N0 = n0) = n0 / n 且P(Yi = 1 | N0 = n0) = n1 / n。提示：在限制条件N0 = n0下，只有标签Y1, …, Yn的顺序可能是随机的。因此，f(Y1, …, Yn | N0 = n0) 是所有(n选n0)种可能排序上的离散均匀分布。

本题可根据条件概率公式和离散均匀分布的性质进行证明。

1. 明确单独抽样情况的特点 ：在单独抽样情况下，样本被分为两部分，其中一部分样本数量为 n0 ，标签为0；另一部分样本数量为 n1 ，标签为1，且 n = n0 + n1 。在限制条件 N0 = n0 下，只有标签 Y1, ..., Yn 的顺序可能是随机的， f(Y1, ..., Yn | N0 = n0) 是所有( n选n0 )种可能排序上的离散均匀分布。

2. 计算 P(Yi = 0 | N0 = n0) ：根据条件概率的定义， P(Yi = 0 | N0 = n0) 表示在已知有 n0 个标签为0的样本的条件下，第 i 个样本标签为0的概率。因为总共有 n 个样本，其中 n0 个样本标签为0，且在限制条件 N0 = n0 下，每个样本被选为标签为0的样本的概率是相等的，所以 P(Yi = 0 | N0 = n0) = n0 / n 。

3. 计算 P(Yi = 1 | N0 = n0) ：同理， P(Yi = 1 | N0 = n0) 表示在已知有 n0 个标签为0的样本的条件下，第 i 个样本标签为1的概率。由于总共有 n 个样本，其中 n1 个样本标签为1，且在限制条件 N0 = n0 下，每个样本被选为标签为1的样本的概率是相等的，所以 P(Yi = 1 | N0 = n0) = n1 / n 。

综上，在单独抽样情况下，对于 i = 1, ..., n ，有：

• P(Yi = 0 | N0 = n0) = n0 / n
• P(Yi = 1 | N0 = n0) = n1 / n

3、考虑线性判