40、离散傅里叶变换与图像频域分析

离散傅里叶变换与图像频域分析

1. 数据序列分解与算法概述

在数字信号处理中，对于长度为 $N$ 的数据序列，可以通过多种方式将其分解为子序列。例如，当 $N = 40$ 时，子序列长度可以有不同的组合，如 $2 × 4 × 5$ 或 $5 × 8$，每种组合都会生成不同的离散傅里叶变换（DFT）序列。

这里涉及两种主要的算法：
- 基 - r 算法 ：将 $N$ 点输入数据序列分解为长度相等的 $r$ 点子序列。
- 混合基算法 ：用于计算具有不等长子序列的 DFT。

在实际应用中，由于基 - 2 或基 - 4 的按时间抽取（DIT）快速傅里叶变换（FFT）算法在数字信号处理中广泛使用，通常会采用零填充的方法，人为地将序列长度增加到合适的基数或复合数。

2. 按时间抽取（DIT）FFT 算法

DIT FFT 算法的核心是将 $N$ 点输入数据序列分离为两个 $N/2$ 序列，一个包含偶数位置的数据值 ${g_k} {N}^{\text{even}} = {g {1k}}$，另一个包含奇数位置的数据值 ${g_k} {N}^{\text{odd}} = {g {2k}}$。则 $N$ 点 DFT 可表示为两个 $N/2$ 点 DFT 的和：

$G(n) = \sum_{k \text{ even}} g_{1k}W_N^{kn} + \sum_{k \text{ odd}} g_{2k}W_N^{kn}$，其中 $n = 0, 1, 2, \cdots, (N - 1)$。 </