hdu2662 coin 数学

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题意：

用 a, b 两种面额的硬币去组成更大面额的钱，问哪个面额之后的所有数字都可被组成

例：a = 5, b = 7, 此时 23 之后的数字都可被连续组成, 24 = 5 * 2 + 7 * 2， 25 = 5 * 5， 26 = 5 * 1 + 7 * 3...

解题思路：

（怎么说，我的做法属于碰运气的类型，有个初步的猜想觉得差不多了就去写了写

而这道题事实上是可以推出公式的，正经做法参见 大佬）

因为所有数字都可被连续的构成，那么必有

a * x1 + b * y1 = n

a * x2 + b * y2 = n + 1

故必有

a * x3 + b * y3 = 1 ……(*)

因为 a 与 b 互质，由扩展欧几里得知，(*)式必有解

对转移过程有意义的两组解分别是(1) x1 > 0, y1 < 0 (满足x的最小性) (2) x2 < 0, y2 > 0 (满足y的最小性)

也就是说，第一个开始连续的数字必定不能通过(*)式转移过来，所以第一个连续的数字即为 (x1 - 1) * a + (y2 - 1) * b

还是上面的例子，

a * x + b * y = 1

当a = 5, b = 7, 两组解分别为 (1) x1 = 3, y1 = -2 (2) x2 = -4, y2 = 3

24 的解组为 2 2

加上(1), 得到 5 0，即为 25 的解组

加上(2), 得到 1 3，即为 26 的解组

加上(1), 得到 4 1，即为 27 的解组

……

然而24的解组就不能通过其他任何正整数解组通过加上(1)或(2)转移得到，那么必然有 x < x1, y < y2, 

然后自然而然地就猜想第一个连续的数是 (x1 - 1) * a + (y2 - 1) * b

所以答案就是 (x1 - 1) * a + (y2 - 1) * b - 1

其实这里面有挺多gap的，比如说为什么就能保证这之后一定都连续？

为什么不是 x - 2？

这就是直觉啊

其实就是碰运气

其实就是瞎搞

还是有教训的，比如说这种瞎搞的做法，一旦第一遍交了没过，就很容易动摇...毕竟没有坚实的理论基础

然而后来发现自己mod了1e9+7而题目里面压根没有这个要求(??? 十分糟心

AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
typedef long long LL;
int x, y;
void exgcd(int x, int y, int& x1, int& y1) {
    if (y == 0) { x1 = 1; y1 = 0; return; }
    exgcd(y, x % y, x1, y1);
    int temp = x1;
    x1 = y1;
    y1 = temp - x / y * y1;
}
void work() {
    int x1, y1;
    exgcd(x, y, x1, y1);
//    printf("%d %d\n", x1, y1);
    LL ans;
    if (x1 < 0) {
        int x2 = x1 + y;
        ans = (LL)(x2 - 1) * x + (LL)(y1 - 1) * y;
    }
    else {
        int y2 = y1 + x;
        ans = (LL)(x1 - 1) * x + (LL)(y2 - 1) * y;
    }
    printf("%lld\n", ans - 1);
}
int main() {
    int T;
    scanf("%d\n", &T);
    while (scanf("%d%d", &x, &y) != EOF) work();
    return 0;
}