Codeforces 526D Om Nom and Necklace 循环节 kmp

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题意

给定一个串 $T$，对它的每一个前缀能否写成 $A+B+A+B+...+B+A$ 的形式（$k$ 个 $A$，$k+1$ 个 $B$，均可为空串）

思路

$A+B+A+B+...+B+A$ 可以看做 $AB+AB+AB+...+A$，即 $k$ 个 $AB$ 和 $1$ 个 $A$. 也就是判断这个串
能否被表示为 $k$ 个循环节和另外一小段（可为空）的和。
另外还有一种特殊情况，就是 $A$ 为空，此时即该串
能否恰好被表示为 $k+1$ 个循环节的和。

// 其实想到第一步就$Orz$一切都顺了…。

于是求出 $fail$ 数组，然后 $i-fail[i]$ 即为这一段中最小的循环节的长度，记为 $cir$. 显然，$cir$ 的整数倍也是循环节，即 $t*cir$ 也是循环节。

要满足题意，则要求

$$\frac{i}{t*cir} == k \ ||\ ((t*cir)\ |\ i 且 \frac{i}{t*cir}==k+1))$$
那么就可以直接根据 $i,cir,t$ 的已知条件来 $O(1)$ 算出是否存在这样的 $t$，即 $O(1)$ $check$

算法复杂度$O(n)$.

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1000010
using namespace std;
int f[maxn], n, k;
char s[maxn];
typedef long long LL;
void getfail() {
    f[0] = f[1] = 0;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int j = f[i];
        while (j && s[i] != s[j]) j = f[j];
        f[i+1] = s[i] == s[j] ? j+1 : 0;
    }
}
bool check(int l, int cir) {
    int upp = l / k, down = l / (k+1) + 1;
    upp = upp / cir, down = ceil(1.0 * down / cir);
    return upp >= down || (l % (k+1) == 0 && (l / (k+1)) % cir == 0);
}
void work() {
    scanf("%s", s);
    getfail();
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int mincir = i - f[i], cir = mincir;
        printf("%d", check(i, cir));
    }
    printf("\n");
}
int main() {
    while (scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) work();
    return 0;
}