复变函数：傅里叶变换

傅里叶级数针对周期函数，为了可以处理非周期函数，需要傅里叶变换。关于傅里叶级数的内容参见傅里叶级数

1 傅里叶级数

1.1 傅里叶级数是向量

从代数上看，傅里叶级数就是通过三角函数和常数项来叠加逼近周期为T的函数$f(x)$：

这一过过程，实际上是把$f(x)$当作了如下基的向量：

那么上面的式子就可以解读为：

以一个例子来说明，比如一个$T=2\pi$的方波$f(x)$，可以粗略的写作$f(x)\approx 1+\frac{4}{\pi }sin(x)$

我们可以认为上面函数的基为 { 1 , s i n ( x ) } \{1,sin(x)\} {1,sin(x)}，则$f(x)$相当于向量$(1,\frac{4}{\pi })$，画到图上如下（注意横纵坐标不是$x,y$，而是$1,sin(x)）$：

2.1.2 频域图

在上面的示例函数中增加几个三角函数：

此时从几何上来看，图像更为接近：

这时的基为：

对应的向量为：

六维的向量我们是没有办法通过坐标图来表示的，因此数学家使用了一个频域图来表示这个向量：

上图中的0，1，2，3，4，5分别代表了不同频率的正弦波函数，也就是之前的基：

$$0Hz⟺sin(0x)3Hz⟺sin(3x)\cdots$$

高度则代表在这个频率上的振幅，也就是这个基上的坐标分量。

这里举的例子只有正弦函数，余弦函数其实也需要这样一个频谱图，也就是需要两个频谱图，此外还有一种结合正弦和余弦的方式，这个放在后面。

原来的曲线图就称为时域图，往往把时域图和频域图画在一起，这样才能较为完整的反映傅里叶级数。

不管是时域还是频域，其实反映的都是同一个直线，只不过一个用了函数的观点，而另一个用了向量的观点。

当习惯了频域后，再看频域图似乎就看到了傅里叶级数的展开：

2 非周期函数：

以上关于傅里叶级数的说明都是基于周期函数，假如有如下一个非周期函数，那么傅里叶级数该怎么处理？

我们可以变换一下思路，如果刚才方波的周期：
$$T=2\pi \to T=\infty$$
那么可以得到一个如下的函数：

在这样的思路下，就可以使用三角级数来逼近这个函数

观察下频域，对于周期为T的函数$f(x)$,其基为：

{ 1 , c o s ( 2 π n T x ) , s i n ( 2 π n T x ) } \{1,cos(\frac{2\pi n}{T}x),sin(\frac{2\pi n}{T}x)\} {1,cos(T2πn​x),sin(T2πn​x)}

刚才举例的方波$T=2\pi$，对应的基就为（没有余弦波）：

对应的频率就是：

按照刚才的思路，如果T不断变大，比如让$T=4\pi$，对应的基就为（没有余弦波）：

对应的频率就为：

和刚才相比，频率更加密集

之前方波的频域图，画了前五十个频率，可以看到随着$T$不断变大，这50个频率越来越集中：




可以想象，如果真的：$T=2\pi \to T=\infty$，这些频率就会变得稠密，直至连续，变为一条频域曲线：

傅里叶变换就是，让$T=\infty$，求出上面这根频域曲线。

3 傅里叶变换

傅里叶级数是：

这里有正弦波和余弦波，画频域图不方便，通过欧拉公式，可以转变为复数形式：

其中：

复数形式也是向量，可以理解为：

只不过这里$c_n$是复数，不好画频域图，当周期推向无穷的时候可以得到：

$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n\cdot e^{i\frac{2\pi nx}{T}}(T=\infty )⟹f(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }F(w)e^{iwx}dw$$

上面进行了一些简化，用$w$代表频率。(?)

其中$F(w)$得到的过程如下所示：

$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{x_0}^{x_0+T}f(x)\cdot e^{-i\frac{2\pi nx}{T}dx}(T=\infty )⟹F(w)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-iwx}dx$$

$F(w)$就是傅里叶变换，得到的就是频域曲线。

下面两者称为傅里叶变换对，可以相互转换：

$$f(x)⟺F(w)$$

正如之前所说的，这是看待同一个数学对象的两种形式，一个是函数，一个是向量。

https://www.matongxue.com/madocs/712.html