完全背包，二分（学习记录）

完全背包

之前学习了如何解01背包问题，用的是二维解法，今天学习的是01背包的一维解法。

其实一维解法，就是在第二个for循环（背包循环）使用逆序，同时状态转移方程不再用dp[ i-1 ][ j ]这样的样式表示，而是直接使用如dp[ j ]。

完整的状态转移方程：dp[ j ] = max( dp[ j ]，dp[ j-w[ i ] ] + v[ i ] )

完全背包与01背包主要的区别在于，物品可以无限次数的取。要做到这一点，需要将第二个循环使用正序。（其实完全背包的两个循环可以互换位置）。

将正序的状况写一下：

//外层循环为物品，内层循环为背包
for(int i=1;i<=n;i++){
   for(int j = w[i] ;j<= m;j++){
      //内部为状态转移方程
   }

}

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二分

（ 洛谷题    P2759 奇怪的函数    出错了 - 洛谷    ）

今天还学习了二分。其实二分在最开始学习C语言的时候就学到了。今天在写一个题目时用到，有需要注意的地方。

题目为：一个n位数，x^x要满足达到n位数，求满足条件的最小x

这题的数据非常大，所以会通过二分法。同时要知道x^x的位数是多少。

通过二分法得到一个数，再求其位数。（根据实际情况不断调整mid）

这里就可以通过推算得知（位数） len = (long long)mid * log10(1.0 * mid) + 1;

二分法的调整：

if (n > len) {
            left = mid + 1;
        }
        else {
            right = mid;
        }

这里重点需要注意的一点就是此处的right不能调整为 right = mid-1 ;

（下面部分也是我自己找来的解释，需要多理解理解）

关于 mid = right - 1 与 mid = right

若使用 mid = right - 1 的话，可能会导致有些边界值被跳过。

1. 使用 mid = right 可能会一直定位到最后一个符合条件的数，保证了搜索不漏掉任何可能的值。
2. mid = right - 1 可能在某些情况下（尤其是当 left 非常接近 right）会跳过最后的有效值，从而得不到正确的结果。

3. 总结 

4. 所以，在正确实现二分查找时，左右边界的定义和调整都应该非常小心，以保证不会遗漏任何可能的符合条件的答案。在这个上下文下，使用 mid = right 是为了保证搜索范围能更准确地定位到我们想要的最小值，从而输出所需的结果。

代码也贴一下：

#include<stdio.h>
int main() {
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	long long left = 1;
	long long right = 2e9;
	long long len = 0;
	long long mid = 0;
	while (left < right) {
		 mid = (left + right)/2 ;
		len = (long long)mid * log10(1.0 * mid) + 1;
		if (n > len) {
			left = mid + 1;
		}
		else {
			right = mid;
		}
	}
	printf("%d", left);
	return 0;
}