【算法】并查集，前缀和数组，差分数组（学习记录）

今天主要学习并查集，前缀和数组和差分数组，写题的同时巩固动态规划。

并查集

我看了一篇关于并查集的博客，写的特别好，通过这篇博客理解了并查集，所以借用这篇博客中提到一些概念来做知识的复习总结。

（博客指路：【算法与数据结构】—— 并查集-优快云博客）

并查集解题的几个关键点：根节点，合并，查询。

拿一道模版题来解释：

解这道题，我们需要有判断两个数是否在同一个集合的操作，以及合并两个集合的操作。

判断两个数是否在同一个集合的操作

1. 判断是否在同一个集合只需要看是否都拥有同一个根节点。

2. 既然要判断，就必须要找一下两个数的根节点是啥，这里就用到 find( ) 函数。同时要注意为了避免超时，要在 find( ) 函数中做一个路径压缩。

路径压缩可以用递归完成，下面给出模版代码（解释在代码注释中）：

//这里优化find函数，实现路径压缩
int find(int a) {
	if (pre[a] == a) {
		return a;
	}
	return pre[a] = find(pre[a]);//理解这一步，是将所有路过的节点的直接上级改为根节点。同时返回所需要的根节点
}

合并两个集合

这里就是将两个集合的根节点统一一下。例如 : pre[ x ] = y，pre[ m ] = n （这里的意思可以理解为，x的根节点为y，m的根节点为n）要合并只需要从y和n中选任意一个根节点当做合并后的根节点即可，例如将y当做合并后合集的根节点，就写成 pre[ m ] = y  

给出模版代码：

if (z == 1) {
//中间为具体操作
	int fx = find(x);
	int fy = find(y);
//如果两个集合的根节点不一样的话，就需要合并集合操作
	if (fx != fy) {
		pre[fx] = fy;
	}
}

有了以上两个核心操作之后，代码基本就没问题了。

判断两个是否在同一个集合，只需要用 find( ) 函数找一下根节点，判断两个根节点是否相同就行。

下面给出完整代码：

#include<stdio.h>

//这里优化find函数，实现路径压缩
int find(int a) {
	if (pre[a] == a) {
		return a;
	}
	return pre[a] = find(pre[a]);//理解这一步，是将所有路过的节点的直接上级改为根节点。同时返回所需要的根节点
}

int pre[200000];//这个数组其实就是涵盖了自己和上级的内容
int main() {
	int N = 0;
	int M = 0;
	int x, y, z;
	scanf("%d%d", &N, &M);
	
	//在还没有任何合并操作前，自己就是自己的教主(根节点)
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		pre[i] = i;
	}
	while (M) {
		scanf("%d%d%d", &z, &x, &y);
		//合并操作(找到教主，合并一下)
		if (z == 1) {
			int fx = find(x);
			int fy = find(y);
			if (fx != fy) {
				pre[fx] = fy;
			}
		}
		else if (z == 2) {
			if (find(x) == find(y)) {
				printf("Y\n");
			}
			else {
				printf("N\n");
			}
		}
		M--;
	}

	return 0;
}

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前缀和数组，差分数组

这里将两个数组放在一起总结。

前缀和数组

可以在求连续一部分数列的和时节省时间。

prefix[ i ] = prefix[ i-1 ] + num （ 当前项的前缀和 = 前一项的前缀和 + 当前项 ）

将每个前缀和求出，得到一个前缀和数组，在之后要取一段连续部分的和的时候就很方便。

直接使用prefix[ R ] - prefix[ L-1 ]即可。

下面给出模版代码：

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        prefix[i] = prefix[i - 1] + flo[i];
      
    }

差分数组

差分数组的出现，可以便于将一个连续区间的所有数进行增减操作。

这边不总结具体原理，可以去推荐博客复习

（前缀和数组和差分数组都在同一篇：【算法与数据结构】—— 前缀和与差分_前缀和差分为什么书上没有-优快云博客）

首先需要构建一个原始的差分数组( 差分 = 当前项 - 前一项 )，然后对于一个区间，例如x~y这个区间的所有数进行增减操作，那么就将差分数组中x的位置和y后面的一个位置做相应的增减操作。

当增减操作完毕后，需要将得到新的数组，（新项 = 新项的前一项 + 对应位置的差分）

代码模版：

//这个是差分数组的创建
for(int i=1; i<=n; i++)
{
	scanf("%d",&ary[i]);
	subfix[i]=ary[i]-ary[i-1];
}

// 执行m次操作 
	for(int i=m;i>0;i--){
		scanf("%d%d%d",&l,&r,&v);
		subfix[l] += v;
		subfix[r+1] -= v;
	}
	// 新数组
	for(int i=1;i<=n;i++){
     
      ary[i] = ary[i-1] + subfix[i];

}