POJ 1768 最大子矩阵

题目

描述

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。

比如，如下4 * 4的矩阵

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

的最大子矩阵是

9 2
-4 1
-1 8

这个子矩阵的大小是15。

输入

输入是一个N * N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中，依次（首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……）给出矩阵中的N2个整数，整数之间由空白字符分隔（空格或者空行）。已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。

输出

输出最大子矩阵的大小。

样例输入

4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

样例输出

15

来源

翻译自 Greater New York 2001 的试题

思路

我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵，然而一个n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2)，显然此方法不可行。
怎么使得问题的复杂度降低呢？对了，相信大家应该知道了，用动态规划。对于此题，怎么使用动态规划呢？
让我们先来看另外的一个问题(最大子段和问题)：
给定一个长度为n的一维数组a，请找出此数组的一个子数组,使得此子数组的和sum＝a[i]+a[i+1]+……+a[j]最大，其中i>=0,i< n,j>=i,j< n，例如
31 -41 59 26 -53 58 97 -93 -23 84
子矩阵59+26-53+58+97=187为所求的最大子数组。
第一种方法－直接穷举法:

maxsofar=0;
   for i = 0 to n
   {
       for  j = i to n 
       {
            sum=0;
            for k=i to j 
                sum+=a[k] 
            if (maxsofar>sum)
               maxsofar=sum;
       }
   }

第二种方法－带记忆的递推法：

cumarr[0]=a[0]
   for i=1 to n      //首先生成一些部分和
   {
        cumarr[i]=cumarr[i-1]+a[i];       
   }

   maxsofar=0
   for i=0 to n
   {
       for  j=i to n     //下面通过已有的和递推
       {
           sum=cumarr[j]-cumarr[i-1]
           if(sum>maxsofar)
               maxsofar=sum
       }
   }

显然第二种方法比第一种方法有所改进，时间复杂度为O(n*n)。

下面我们来分析一下最大子段和的子结构，令b[j]表示从a[0]~a[j]的最大子段和，b[j]的当前值只有两种情况，(1)
最大子段一直连续到a[j] (2)
以a[j]为起点的子段，不知有没有读者注意到还有一种情况，那就是最大字段没有包含a[j]，如果没有包含a[j]的话，那么在算b[j]之前的时候我们已经算出来了，注意我们只是算到位置为j的地方，所以最大子断在a[j]后面的情况我们可以暂时不考虑。
由此我们得出b[j]的状态转移方程为：b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},
所求的最大子断和为max{b[j],0<=j< n}。进一步我们可以将b[]数组用一个变量代替。 得出的算法如下：

   int maxSubArray(int n,int a[])
    {
        int b=0,sum=-10000000;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
             if(b>0) b+=a[i];
             else b=a[i];
             if(b>sum) sum=b;  
        }
        return sum;
    }

这就是第三种方法－动态规划。 现在回到我们的最初的最大子矩阵的问题,这个问题与上面所提到的最大子断有什么联系呢？
假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵，如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始)：
| a11…… a1i ……a1j ……a1n |
| . . . . . . . |
|ar1 …… ari ……arj ……arn |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ak1 …… aki ……akj ……akn |
| . . . . . . . |
| an1 …… ani ……anj ……ann |
那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来，可以得到一个一维数组如下： (ar1+……+ak1, ar2+……+ak2,
……,arn+……+akn) 由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子断和问题，到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。
以上思路转自http://www.cnblogs.com/fll/archive/2008/05/17/1201543.html
下面是我的代码…

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,b[105],sum[105],a[105][105],maxx;
int maxsub()
{
    int x=0,sum=-1270000;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(x>0) x+=b[i]; else x=b[i];
        if(x>sum) sum=x;
    }
    return sum;  
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(b,0,sizeof(b));
        for (int j=i;j<=n;j++)
        {
            for (int k=1;k<=n;k++) b[k]+=a[j][k];
            int s=maxsub();
            if (s>maxx) maxx=s;
        }
    } 
    printf("%d",maxx);
}