Beautiful numbers

最新推荐文章于 2020-07-26 08:09:37 发布

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本文介绍使用数位DP算法解决Beautifulnumbers问题的过程，通过优化状态表示减少内存消耗，最终实现有效求解区间内满足特定条件的数字数量。

Beautiful numbers

Codeforces55_D

HOJ1983

注意两边的提交格式和long long；int64不一样，细节

题意：【X，Y】区间内有多少个数，该数能够整除数位中的每一位

按照数位DP模板先走起

dp【pos】【num】【mod】表示：当前已经算到了第pos位，当前数为num，各个数位的乘积为mod

然后发现，空间没法开起来。

pos开20位，num要用1到1e18

各个数位的乘积mod，肯定会是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数的最小公倍数的约数

2520共有多少个约数，暴力算一下，就几十个。

所以可以用数组先暴力算出来记住，用hash的方法省空间

这个时候num也自然就少了。因为数论，num%mod要等于0，等价于（num%2520）%mod==0

所以每次计算的时候，num不超过2520

最后数组开出来是dp【20】【2550】【50】，所以这样开数组可以开下来

然后就是套路代码，可以过CF55D的

#include<map>
#include<set>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<stack>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
using namespace std;

#define lson rt<<1,l,mid
#define rson rt<<1|1,mid+1,r
#define ll rt<<1
#define rr rt<<1|1
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define maxn 1050
#define maxnum 1000050
#define eps 1e-6
#define input freopen("input.txt","r",stdin)
#define output freopen("output.txt","w",stdout)

__int64 dp[20][2525][55];
int digit[20];
int hash[2525];

int gcd(int a,int b){
	if (!b) return a;
	return gcd(b,a%b);
}

int lcm(int a,int b){
	return a/gcd(a,b)*b;
}

__int64 dfs(int pos,int num,int mod,bool flag){
	if (pos==0) return num%mod==0;
	if (flag&&dp[pos][num][hash[mod]]!=-1) return dp[pos][num][hash[mod]];
	int number=flag?9:digit[pos];
	__int64 ans=0;
	for(int i=0;i<=number;i++)
		ans+=dfs(pos-1,(num*10+i)%2520,i?lcm(mod,i):mod,flag||i<number);
	if (flag) dp[pos][num][hash[mod]]=ans;
	return ans;
}

__int64 calc(__int64 x){
	if (x<0) return 0;
	int len=0;
	while(x){
		digit[++len]=x%10;
		x/=10;
	}
	return dfs(len,0,1,0);
}

void init(){
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	int id=0;
	for(int i=1;i*i<=2520;i++)
		if (2520%i==0){
			hash[i]=id++;
			if (i*i!=2520) hash[2520/i]=id++;
		}
}

int main(){
	//input;
	init();
	int t;
	scanf("%d",&t);
	__int64 x,y;
	while(t--){
		scanf("%I64d%I64d",&x,&y);
		printf("%I64d\n",calc(y)-calc(x-1));
	}
	return 0;
}

感谢巨巨的题解：

http://blog.youkuaiyun.com/niuox/article/details/9864199