42、多重积分与球面坐标下的三重积分解析

多重积分与球面坐标下的三重积分解析

1. 积分区域分割与体积计算

在积分计算中，当积分区域的外部边界从竖直线(x = 1)变为圆(x^{2}+y^{2}=d^{2})（或(r = 1)）时，常需要对积分区域进行分割。将区域分割为(U_1)和(U_2)，(U_1)是一个直角三角形，有(\cos\theta=\frac{1}{d})，那么在极坐标下(U_1)和(U_2)的边界为(\theta=\cos^{-1}(\frac{1}{d}))，在直角坐标下为(y = \sqrt{d^{2}-1}x)。
使用直角坐标计算(U_1)的积分，极坐标计算(U_2)的积分，可得到固体的总体积为：
(V = 16\left[\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{d^{2}-1}x}\sqrt{1 - x^{2}}dydx+\int_{\cos^{-1}(\frac{1}{d})}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{d}\sqrt{1 - r^{2}\cos^{2}\theta}r drd\theta\right])
若(d\geq\sqrt{2})，圆柱(x^{2}+y^{2}=1)完全包含另外两个圆柱的交集，此时三个圆柱的交集固体与(x^{2}+z^{2}=1)和(y^{2}+z^{2}=1)的交集相同，其体积为(V = 16\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\sqrt{1 - x^{2}}dydx)。

2. 坐标转换

• 球面坐标转直角坐标
  • 已知球面坐标((\rho,\theta,\varphi))与直角坐标((x,y,z))的转换公式