32、链式法则的应用与推导

链式法则的应用与推导

1. 链式法则基础

链式法则是微积分中一个重要的工具，用于求复合函数的导数。以下是一些常见的复合函数求导示例：

1.1 单变量复合函数求导

• 示例 1 ：若 $z = x^2 + y^2 + xy$，$x = \sin t$，$y = e^t$，则
  • 根据链式法则 $\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$
  • 先求偏导数：$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y$，$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y + x$；导数：$\frac{dx}{dt} = \cos t$，$\frac{dy}{dt} = e^t$
  • 代入可得：$\frac{dz}{dt} = (2x + y)\cos t + (2y + x)e^t$
• 示例 2 ：若 $z = \cos(x + 4y)$，$x = 5t^4$，$y = \frac{1}{t}$
  • 同样根据链式法则：$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$
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