28、向量函数知识详解

向量函数知识详解

1. 向量函数基础概念

向量函数是一种定义域为实数集，值域为向量集的函数。求其导数或积分时，可对向量函数的每个分量分别进行求导或积分操作。

例如，若向量函数(\vec{r}(t))，则求导或积分可表示为对其各分量分别处理。

向量函数的一些关键概念如下：
- 空间曲线 ：连续向量函数(\vec{r}(t))的移动向量端点会描绘出一条空间曲线。
- 切线向量与切线 ：在光滑曲线的某点(S)，位置向量为(\vec{r}(t))，该点的切线向量是(\vec{r}’(t))，过点(S)且平行于切线向量(\vec{r}’(t))的直线就是切线。单位切线向量(\vec{T}(t)=\frac{\vec{r}’(t)}{|\vec{r}’(t)|})。

2. 曲率相关知识

曲率用于描述曲线的弯曲程度，有多种计算方式：
- (\kappa = \left|\frac{d\vec{T}}{ds}\right|)，其中(\vec{T})是单位切线向量。
- (\kappa(t) = \left|\frac{\vec{T}’(t)}{\vec{r}’(t)}\right|)
- (\kappa(t) = \frac{|\vec{r}’(t) \times \vec{r}’‘(t)|}{|\vec{r}’(t)|^3})
- (\kappa(x) = \frac{|f’‘(x)|}{[1 + (f’(x))^2]^{\frac{3}{2}}})

单位法向量(\vec{N}(t)=\frac{