27、向量函数与运动学：从理论到实际应用

向量函数与运动学：从理论到实际应用

1. 向量函数基础与速度加速度计算

在向量函数的研究中，我们常常会遇到通过位置向量来确定速度和加速度的问题。首先，对于给定的位置向量 (r(t))，其导数 (r’(t)) 就是速度向量 (v(t))，而速度向量的导数 (v’(t)) 则是加速度向量 (a(t))。

例如，当 (r(t) = \left(-\frac{1}{2}t^{2}, t\right)) 时：
- 速度向量 (v(t)=r’(t)=\langle -t, 1\rangle)，在 (t = 2) 时，(v(2)=\langle -2, 1\rangle)。
- 加速度向量 (a(t)=r’‘(t)=\langle -1, 0\rangle)，在 (t = 2) 时，(a(2)=\langle -1, 0\rangle)。
- 速度的大小 (|v(t)|=\sqrt{t^{2}+1})。

下面是不同位置向量对应的速度、加速度和速度大小的计算总结表格：
| (r(t)) | (v(t)) | (a(t)) | (|v(t)|) |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| (\left(-\frac{1}{2}t^{2}, t\right)) | (\langle -t, 1\rangle) | (\langle -1, 0\rangle) | (\sqrt{t^{2}+1}) |
| ((2 - t, 4\sqrt{t})) | (\left\langle -1, \frac{2}{\sqrt{t}}\right\rangle) | (\left\langle 0, -\frac{1}{