16、无穷序列与级数知识解析

无穷序列与级数知识解析

1. 普朗克定律与恒星特性

根据相关图形，在普朗克定律下，(i(\lambda))在(\lambda \approx 0.51\ \mu m)处有最大值。随着温度(T)升高，曲线下的总面积增加，这意味着恒星越热，其释放的能量越多。同时，最大值对应的(\lambda)值减小，即温度越高，恒星发出光的峰值波长（以及平均波长）越短。这就解释了为什么天狼星是蓝色恒星，而参宿四是红色恒星：天狼星发出的光大多波长较短，频率较高，接近光谱的蓝色端；而参宿四发出的光大多频率较低，接近光谱的红色端。

2. 序列与级数的基本概念

2.1 序列极限

• 若序列({a_n})满足(\lim_{n \to \infty} a_n = L)，则当(n \to \infty)时，(2n + 1 \to \infty)，所以(a_{2n + 1} \to L)。
• 例如对于序列(\left{\frac{2 + n^3}{1 + 2n^3}\right})，(\lim_{n \to \infty} \frac{2 + n^3}{1 + 2n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{2/n^3 + 1}{1/n^3 + 2} = \frac{1}{2})，该序列收敛。
• 对于序列(a_n = \frac{9^{n + 1}}{10^n} = 9 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^n)，(\lim_{n \to \infty} a_n = 9 \lim_{n \to \infty} \left(\frac{9}{10}\right)^n = 9 \cdot 0