7、数学问题与无穷序列和级数解析

数学问题与无穷序列和级数解析

1. 曲线相关问题

1.1 弧长计算

已知 (x = \int_{1}^{t}\frac{\cos u}{u}du)，(y = \int_{1}^{t}\frac{\sin u}{u}du)，根据微积分基本定理（FTC1）可得 (\frac{dx}{dt}=\frac{\cos t}{t})，(\frac{dy}{dt}=\frac{\sin t}{t})。垂直切线发生在 (\frac{dx}{dt} = 0) 时，即 (\cos t = 0)。对应点 ((x,y)=(0,0)) 的参数值 (t = 1)，最近的垂直切线在 (t=\frac{\pi}{2}) 处。那么这两点间的弧长 (L) 为：
[
\begin{align }
L&=\int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt\
&=\int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{\cos^{2}t}{t^{2}}+\frac{\sin^{2}t}{t^{2}}}dt\
&=\int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dt}{t}\
&=\left[\ln t\right]_{1}^{\frac{\pi}{2}}\
&=\ln\frac{\pi}{2}
\end{align }
]

1.2 曲线 (x^{4}+y^{4}=x^{2}+y^{2}) 的分析

• 对称