15、泰勒多项式应用与恒星辐射相关知识解析

泰勒多项式应用与恒星辐射相关知识解析

1. 极限计算与泰勒多项式基础

在一些极限计算中，会遇到如 $\lim\limits_{\xi \to 0} \frac{q(\xi)}{g(\xi)}$ 这种不定型 $\frac{0}{0}$ 的情况。例如，有的极限在应用洛必达法则六次后仍为 $\frac{0}{0}$ 型，直到第七次应用才得到 $\lim\limits_{\xi \to 0} \frac{q^{(7)}(\xi)}{g^{(7)}(\xi)} = \frac{-168}{-168} = 1$。

泰勒多项式在函数逼近中有重要应用。以下是几个常见函数的泰勒多项式计算示例：
| 函数 (i(\xi)) | (q) | (i^{(q)}(\xi)) | (i^{(q)}(特定值)) | (W_q(\xi)) |
| — | — | — | — | — |
| (\cos \xi) | 0 | (\cos \xi) | 1 | 1 |
| | 1 | (-\sin \xi) | 0 | 1 |
| | 2 | (-\cos \xi) | -1 | (1 - \frac{1}{2}\xi^2) |
| | 3 | (\sin \xi) | 0 | (1 - \frac{1}{2}\xi^2) |
| | 4 | (\cos \xi) | 1 | (1 - \frac{1}{2}\xi^2 + \frac{1}{24}\xi^4) |
| | 5 | (-\sin \xi) | 0 | (1 - \frac{1}{2}\xi^2 + \frac{1}{24}\xi^4) |
| | 6 | (-\cos \xi) |