14、泰勒级数与麦克劳林级数的深入探究

泰勒级数与麦克劳林级数的深入探究

1. 级数基础与定理应用

在数学分析中，泰勒级数和麦克劳林级数是极为重要的工具。对于幂级数(\sum_{q = 0}^{\infty}e_q(x - 5)^q)，根据定理 5 可知(e_q=\frac{f^{(q)}(d)}{q!})，那么(e_8=\frac{f^{(8)}(5)}{8!})。这一定理为我们后续求解各种函数的级数展开式提供了基础。

1.1 级数判断

通过给定的级数与函数在某点的幂级数展开形式进行对比，可以判断该级数是否为函数在该点的泰勒级数。例如，对于函数(f)在(1)处的幂级数展开，其形式应为(f(1)+f^\prime(1)(x - 1)+\cdots)。若给定级数为(1.6 - 0.8(x - 1)+\cdots)，则可得(f^\prime(1)= - 0.8)，但从函数图像可知(f^\prime(1))为正，所以该级数不是(f)以(1)为中心的泰勒级数。同理，对于函数(f)在(2)处的幂级数展开，对比给定级数可判断其是否为泰勒级数。

1.2 麦克劳林级数求解

当已知函数的各阶导数在(0)处的值时，可根据麦克劳林级数公式(\sum_{q = 0}^{\infty}\frac{f^{(q)}(0)}{q!}x^q)求解级数。例如，若(f^{(q)}(0)=(q + 1)!)，则其麦克劳林级数为(\sum_{q = 0}^{\infty}(q + 1)x^q)。通过比值判别法(\lim_{q\rightarrow\infty}\left|\frac{d_{q + 1}}{d_q}\right|=\lim_{q\rightarrow\infty}\left|\frac{(q + 2