求矩阵的伴随矩阵

前言:想要学会《线性代数》中的——求伴随矩阵,我们这次的学习将按照下面的步骤进行:

(1)       了解什么是方阵的行列式;

(2)       方阵行列式的运算规则;

(3)       伴随矩阵得定义;

(4)       求方阵的伴随矩阵;

(5)       牢记伴随矩阵的特殊定义;

  1. 让我们首先了解方阵行列式的定义,如下图:

    线性代数:矩阵运算之求伴随矩阵?

  2. 了解方阵行列式的运算规则,如下图:

    线性代数:矩阵运算之求伴随矩阵?

  3. 得出方阵的伴随矩阵定义,如下图:

    线性代数:矩阵运算之求伴随矩阵?

  4. 结合例子,加深理解,如下图:

    线性代数:矩阵运算之求伴随矩阵?

  5. 牢记伴随矩阵的妙用,如下图:

    线性代数:矩阵运算之求伴随矩阵?

### 如何在 MATLAB 中矩阵伴随矩阵 MATLAB 并未提供直接用于计算伴随矩阵的内置函数,因此可以通过间接方式实现这一目标。以下是两种常见的方法: #### 方法一:基于行列式和逆矩阵的关系 伴随矩阵 \( \text{adj}(A) \) 可通过以下公式定义: \[ \text{adj}(A) = (\det(A)) \cdot (A^{-1}) \] 如果已知矩阵 \( A \),可以先验证其可逆性(即 \( \det(A) \neq 0 \)),然后按照上述关系计算伴随矩阵。 具体步骤如下: 1. 计算矩阵 \( A \) 的行列式 \( \det(A) \)[^2]。 2. 使用 `inv` 函数计算矩阵 \( A \) 的逆矩阵 \( A^{-1} \)[^2]。 3. 将行列式的值乘以逆矩阵的结果即可得到伴随矩阵。 下面是对应的 MATLAB 实现代码: ```matlab % 定义输入矩阵 A A = [1 0 0; 1 1 -1; -2 0 3]; % 计算 det(A) determinant = det(A); % 如果矩阵可逆,则继续计算伴随矩阵 if determinant ~= 0 % 计算逆矩阵 inverse_A = inv(A); % 根据公式 adj(A) = det(A) * inv(A) adjoint_matrix = determinant * inverse_A; else disp('矩阵不可逆'); end ``` 此方法适用于 **可逆矩阵** 的情况[^2]。 --- #### 方法二:针对不可逆矩阵的情况 当矩阵不可逆时(\( \det(A) = 0 \)),无法使用上述方法。此时可通过构造伴随矩阵的方式手动计算。伴随矩阵中的每个元素是由原矩阵对应位置的代数余子式决定的。 假设给定一个 \( n \times n \) 矩阵 \( A \),则伴随矩阵 \( \text{adj}(A) \) 的第 \( i,j \) 元素为: \[ [\text{adj}(A)]_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ji}, \] 其中 \( M_{ji} \) 是删除 \( j \)-th 行和 \( i \)-th 列后的子矩阵的行列式。 以下是通用的 MATLAB 实现代码: ```matlab function adj = computeAdjointMatrix(A) [n, ~] = size(A); % 获取矩阵维度 % 初始化伴随矩阵 adj = zeros(n); for i = 1:n for j = 1:n submatrix = A(setdiff(1:n,i), setdiff(1:n,j)); % 删除指定行和列 cofactor = (-1)^(i+j) * det(submatrix); % 计算代数余子式 adj(j,i) = cofactor; % 转置存储到伴随矩阵中 end end end ``` 调用该函数时传入任意方阵作为参数即可获得其伴随矩阵。例如: ```matlab A = [1 0 0; 1 1 -1; -2 0 3]; adjoint_matrix = computeAdjointMatrix(A); disp(adjoint_matrix); ``` 这种方法不依赖于矩阵是否可逆,因而更加普适[^1]。 --- ### 总结 - 对于可逆矩阵,推荐使用行列式与逆矩阵相结合的方法快速获取伴随矩阵。 - 针对不可逆矩阵或更一般的情形,建议采用逐一代数余子式的手动构建法来完成伴随矩阵的计算[^1]。 ---
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值