线性代数【三】：伴随矩阵，初等矩阵与矩阵方程

本节为线性代数复习笔记的第三部分，伴随矩阵，初等矩阵与矩阵方程，包括矩阵的初等变换以及初等矩阵的性质，伴随矩阵的一个运算性质，矩阵方程与一道相关例题，等价矩阵和等价标准型以及矩阵的秩。

1.初等变换

  初等行变换相当于矩阵左乘一个初等矩阵，初等列变换相当于矩阵右乘一个初等矩阵（初等矩阵就是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵），初等变换不会改变矩阵的秩。矩阵初等变换包括：

• 一个非零常数乘矩阵的某一行或某一列
• 互换矩阵中某两行/列的位置
• 将某行/列的k倍加到另一行/列

  初等矩阵还有几个性质：

• 初等矩阵的转置仍是初等矩阵
• 初等矩阵都是可逆矩阵且逆矩阵仍是初等矩阵
• 矩阵可逆，则该矩阵可以表达为一系列初等矩阵的乘积

2. 伴随矩阵的一个性质

  $|A{A}^{\ast }|=||A|E|$，$所以，|A||A^{\ast }|=|A{|}^n|E|$，
$\therefore |A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$.

3. 矩阵方程

  矩阵方程即$AxB=C，则有x=A^{-1}C{B}^{-1}$.

$eg.设矩阵A的伴随矩阵A^{\ast }=\lfloor$