矩阵分解 Cholesky分解（Cholesky decomposition）

最新推荐文章于 2024-10-13 20:46:22 发布

keith0812

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本文深入探讨了Cholesky分解的概念、公式及其在矩阵运算中的应用，详细解析了分解过程并给出了实例演示。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Cholesky分解（Cholesky decomposition）：把一个矩阵分解为一个矩阵乘以该矩阵矩阵的转置

公式表达： $\mathbf{A=LL^T}$$$

$\begin{align}{\mathbf{A=LL^T}} & =\begin{pmatrix} L_{11} & 0 & 0 \\ L_{21} & L_{22} & 0 \\ L_{31} & L_{32} & L_{33}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix} L_{11} & L_{21} & L_{31} \\ 0 & L_{22} & L_{32} \\ 0 & 0 & L_{33}\end{pmatrix} \\& =\begin{pmatrix} L_{11}^2 & &(\text{symmetric}) \\ L_{21}L_{11} & L_{21}^2 + L_{22}^2& \\ L_{31}L_{11} & L_{31}L_{21}+L_{32}L_{22} & L_{31}^2 + L_{32}^2+L_{33}^2\end{pmatrix}\end{align}$$$

反解出 $\mathbf{L}$$$

得：

$L_{j,j} = \sqrt{ A_{j,j} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{j,k}^2 }$$$

$L_{i,j} = \frac{1}{L_{j,j}} \left( A_{i,j} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{i,k} L_{j,k} \right)$$$

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