矩阵分解 Cholesky分解

Cholesky分解法又叫平方根法，是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一。对于一般矩阵，为了消除LU分

解的局限性和误差的过分积累，采用了选主元的方法，但对于对称正定矩阵而言，选主元是不必要的。

 

定理：若对称正定，则存在一个对角元为正数的下三角矩阵，使得成立。

 

Cholesky分解的条件(这里针对复数矩阵)

一、Hermitian matrix（埃尔米特矩阵）：矩阵中的元素共轭对称（复数域的定义，类比于实数对称矩阵）。

Hermitian意味着对于任意向量x和y，(x*)Ay共轭相等

二、Positive-definite：正定（矩阵域，类比于正实数的一种定义）。正定矩阵A意味着，对于任何向量x，(x^T)Ax总是大于零(复数域是(x*)Ax>0)

 

Cholesky分解的形式

可记作A = L L*。其中L是下三角矩阵。L*是L的共轭转置矩阵。

可以证明，只要A满足以上两个条件，L是唯一确定的，而且L的对角元素肯定是正数。反过来也对，即存在L把A分解的话，A满足以上两个条件。

如果A是半正定的（semi-definite），也可以分解，不过这时候L就不唯一了。

特别的，如果A是实数对称矩阵，那么L的元素肯定也是实数。

另外，满足以上两个条件意味着A矩阵的特征值都为正实数，因为Ax = lamda * x,

(x*)Ax = lamda * (x*)x > 0, lamda > 0

假设现在要求解线性方程组，其中为对称正定矩阵，那么可通过下面步骤求解

 

（1）求的Cholesky分解，得到

（2）求解，得到

（3）求解，得到

 

现在的关键问题是对进行Cholesky分解。假设

 

       

 

通过比较两边的关系，首先由，再由

 

       

 

这样便得到了矩阵的第一列元素，假定已经算出了的前列元素，通过

 

       

 

可以得到

 

       

 

进一步再由

 

                 

 

最终得到

 

       

 

这样便通过的前列求出了第列，一直递推下去即可求出，这种方法称为平方根法。

 

代码：

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1. #include <iostream>  
2. #include <string.h>  
3. #include <stdio.h>  
4. #include <vector>  
5. #include <math.h>  
6.    
7. using namespace std;  
8. const int N = 1005;  
9. typedef double Type;  
10.    
11. Type A[N][N], L[N][N];  
12.    
13. /** 分解A得到A = L * L^T */  
14. void Cholesky(Type A[][N], Type L[][N], int n)  
15. {  
16.     for(int k = 0; k < n; k++)  
17.     {  
18.         Type sum = 0;  
19.         for(int i = 0; i < k; i++)  
20.             sum += L[k][i] * L[k][i];  
21.         sum = A[k][k] - sum;  
22.         L[k][k] = sqrt(sum > 0 ? sum : 0);  
23.         for(int i = k + 1; i < n; i++)  
24.         {  
25.             sum = 0;  
26.             for(int j = 0; j < k; j++)  
27.                 sum += L[i][j] * L[k][j];  
28.             L[i][k] = (A[i][k] - sum) / L[k][k];  
29.         }  
30.         for(int j = 0; j < k; j++)  
31.             L[j][k] = 0;  
32.     }  
33. }  
34.    
35. /** 回带过程 */  
36. vector<Type> Solve(Type L[][N], vector<Type> X, int n)  
37. {  
38.     /** LY = B  => Y */  
39.     for(int k = 0; k < n; k++)  
40.     {  
41.         for(int i = 0; i < k; i++)  
42.             X[k] -= X[i] * L[k][i];  
43.         X[k] /= L[k][k];  
44.     }  
45.     /** L^TX = Y => X */  
46.     for(int k = n - 1; k >= 0; k--)  
47.     {  
48.         for(int i = k + 1; i < n; i++)  
49.             X[k] -= X[i] * L[i][k];  
50.         X[k] /= L[k][k];  
51.     }  
52.     return X;  
53. }  
54.    
55. void Print(Type L[][N], const vector<Type> B, int n)  
56. {  
57.     for(int i = 0; i < n; i++)  
58.     {  
59.         for(int j = 0; j < n; j++)  
60.             cout<<L[i][j]<<" ";  
61.         cout<<endl;  
62.     }  
63.     cout<<endl;  
64.     vector<Type> X = Solve(L, B, n);  
65.     vector<Type>::iterator it;  
66.     for(it = X.begin(); it != X.end(); it++)  
67.         cout<<*it<<" ";  
68.     cout<<endl;  
69. }  
70.    
71. int main()  
72. {  
73.     int n;  
74.     cin>>n;  
75.     memset(L, 0, sizeof(L));  
76.     for(int i = 0; i < n; i++)  
77.     {  
78.         for(int j = 0; j < n; j++)  
79.             cin>>A[i][j];  
80.     }  
81.     vector<Type> B;  
82.     for(int i = 0; i < n; i++)  
83.     {  
84.         Type y;  
85.         cin>>y;  
86.         B.push_back(y);  
87.     }  
88.     Cholesky(A, L, n);  
89.     Print(L, B, n);  
90.     return 0;  
91. }  
92.    
93. /**data** 
94. 4 
95. 4 -2 4 2 
96. -2 10 -2 -7 
97. 4 -2 8 4 
98. 2 -7 4 7 
99. 8 2 16 6 
100. */  

用上述的方法需要进行开方，这有可能损失精度和增加运算量，为了避免开方，Cholesky分解有个改进的版本分解。

 

参考资料：http://class.htu.cn/nla/cha1/sect3.htm

转自：http://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/44656847

http://blog.youkuaiyun.com/zhouliyang1990/article/details/21952485