Shader学习 数学基础

 

一、数学概念

1.左右坐标系和右手坐标系

如何判断左手坐标系和右手坐标系？

答：侧面伸出右手为x方向，头部为y方面，面对的方向为z方向，则为左手坐标系，右手坐标系z轴方向为相反反向。坐标轴具有旋向性。

Unity中使用的坐标系？

答：模型空间和世界空间使用左手坐标系，观察空间使用右手坐标系。

2.正交基、标准正交基

三个矢量像坐标轴一样两两垂直称为正交基。三个矢量都为单位矢量且两两垂直则称为标准正交基。

二、矢量运算

1. 矢量和标量相乘。几何意义：表示缩放。

2. 矢量的加法。几何意义：矢量a+矢量b 表示a、b首尾相连，从a尾指向b首的矢量。

3. 矢量的减法。几何意义：矢量a-矢量b表示 a b尾部相连从b首指向a首的矢量，即a相对于b的偏差。

4. 矢量的点乘。 几何意义：矢量dot(a,b)表示a在b方向上的投影大小缩放|b|倍。或者b在a的方向上的投影缩放|a|倍。其值是个标量。

5. 矢量的叉乘。 几何意义：叉乘的结果是一个矢量。矢量的大小为|a||b|sinX 其中X为矢量a、b之间的夹角。矢量的方向为垂直a和b所在的平面。叉乘常用来判断三角面片的朝向。

三、矩阵的运算

1. 矩阵的乘法不满足交换律满足结合律
2. 常见的特殊矩阵：方块矩阵、对角阵、单位矩阵、转置矩阵
3. 逆矩阵：逆矩阵几何上被用来做变换的还原。M*M-1 = I
4. 正交矩阵：M*（M）T = I . 对于正交矩阵来说：正交矩阵的转置矩阵为等于逆矩阵。转置矩阵比较好求得，因此使用正交矩阵的转置矩阵可以方便的做逆变换。
5. 如何判断矩阵是正交的？条件1：行矢量都为单位向量 条件2：三个行矢量两两垂直即点乘值为0.
6. Unity中使用左乘变换矩阵的方式做变换。

四、几大空间

1.模型空间

省略。

2.世界空间

省略

3.观察空间

需要注意的是观察空间使用的右手坐标系。三维空间。

4.裁剪空间

为什么要使用裁剪空间?

答：对于视椎体来说，判断一个顶点是否处于范围内，比较麻烦。于是就根据视椎体的参数做了一个简单矩阵变化，得到的裁剪空间的坐标(x,y,z,w)，通过判断x，y，z与w的关系确定顶点是否在视椎体范围内。

其实质就是将x，y，z坐标做了不同程度的缩放。

5.屏幕映射

将裁剪空间的坐标想x,y,z除以w得到NDC坐标(归一化坐标)。归一化坐标在一个立方体内 其范围为（-1,1）。将-1,1映射到（0,1）再分别乘以屏幕的宽高，得到顶点在屏幕上的位置。