3、主观概率、效用与决策问题解析

主观概率、效用与决策问题解析

1. 主观概率与效用基础

1.1 游戏中的期望货币与效用

在某些游戏里，期望货币收益可能是无穷的。例如，游戏在第(n)轮停止的概率是(2^{-n})，那么游戏的期望货币收益为(\sum_{n = 1}^{\infty} 2^n2^{-n} = \infty)。若效用函数是线性的，对于任意有限的(k)，玩游戏的期望效用(\sum_{n = 1}^{\infty} U(2^n - k)2^{-n} = \infty)，这意味着玩家愿意支付任何金额(k)来玩这个游戏。然而，实际上很少有人会愿意支付任意金额去玩。

1.2 非线性效用函数的解释

玩家的效用函数不一定是线性的。假设玩家有初始资本(C)，需从中支付(k)，可以考虑对数效用函数(E U = \sum_{n = 1}^{\infty} \ln(C + 2^n - k)2^{-n})。当(C = 10000)时，最大赌注是(14)；(C = 100)时，最大赌注是(6)；(C = 10)时，最大赌注仅为(4)。

1.3 其他影响决策的因素

玩家可能不相信硬币是无偏的，或者怀疑能否获得无界的奖金，又或者认为奖金总和只会达到某个有限值(N)。在线性期望效用场景下，对于正面朝上概率为(p)且奖金总和到(N)的硬币，有(\sum_{n = 1}^{N} 2^np^{n - 1}(1 - p) = 2(1 - p)\frac{1 - (2p)^N}{1 - 2p})。当(N)很大且(p = 0.45)时，预计收益约为(10)美元。若认为银行只有(1024)美元储备，最多也只能下注(10)美元。

1.4 效用的测量