55、决策理论规划与效用理论解析

决策理论规划与效用理论解析

1. 非零和博弈中的纳什均衡

在非零和博弈中，纳什均衡是一个重要的概念。对于某些问题，双方合作能达到纳什均衡，例如结果为 (8, 8) 的情况。但如果双方无法沟通和协调策略，就会付出代价。这种解决方案也是玩家的安全策略，因为它通过最坏情况分析实现了最低成本。

1.1 随机化纳什均衡

当一个博弈在确定性策略空间中没有纳什均衡时，可以通过扩展策略空间，引入随机化策略来解决问题。每个零和博弈在随机化策略空间中都有一个随机化鞍点，而每个非零和博弈也都存在随机化纳什均衡。

不过，这也存在一些问题。可能存在其他可接受的均衡，这意味着除非玩家进行合作，否则无法可靠地避免遗憾。而且，随机化纳什均衡不能使用线性规划方法计算，而是需要非线性规划，这通常没有很好的组合解决方案。

随机化策略的期望成本可以通过特定公式计算。对于一对随机化策略 (w, z)，玩家 P1 和 P2 的期望成本分别为 $\overline{L} 1(w, z)$ 和 $\overline{L}_2(w, z)$。如果满足以下条件，则称策略对 $(w^ , z^ )$ 为随机化纳什均衡：
$\overline{L}_1(w^ , z^ ) = \min {w\in W} {\overline{L}_1(w, z^ )}$
$\overline{L}_2(w^ , z^ ) = \min_{z\in Z} {\overline{L}_2(w^ , z)}$

用成本矩阵 A 和 B 表示，纳什均衡条件可以写成： <