20、机器人工作空间几何分析

机器人工作空间几何分析

1. 可及工作空间与灵活工作空间

为了研究机器人的工作空间，可将机器人结构视为由手臂和手部组成。手臂是用于手部全局定位的大型区域结构，而手部则是用于工具定向的小型定向结构。具有大型区域结构和小型定向结构的机器人，其主要工作空间由手臂决定，手部则产生机器人的次要工作空间。

机器人的工作空间是评估机械臂几何结构的重要标准。机械臂的工作空间可以用可及工作空间和灵活工作空间来描述：
- 可及工作空间 ：是指手部上的一个参考点能够到达的空间体积。
- 灵活工作空间 ：是可及工作空间的一部分，在这个空间内，手部可以在任何指定方向上旋转。在灵活工作空间中，机器人具有完全的操作能力；而在可及工作空间中，机械臂的操作能力有限，因为终端设备只能处于有限的方向范围内。

可以通过计算机来开发两连杆和三连杆机器人的工作空间。例如，在微型计算机上编程，使用数字小键盘移动每个连杆，通过让每个连杆在其角度运动范围内移动，类似于机器人手臂的实际运动，从而获得工作区域。连杆机器人由液压缸驱动时，其工作区域取决于液压缸驱动关节的配置方式。

不同机器人的工作区域和可达性特点各不相同。以Spine机器人为例，与许多其他工业机器人相比，它的安装空间需求很小，仅相当于一个人的空间大小。其底板尺寸为0.7 x 0.4 m，且没有需要在机器人后方占用空间的配重。它通常安装在地板上，工作范围较大，手臂可以在50 m²的球体范围内工作，直立时可达到4 m。手臂可以反复旋转，无需回到零点，还可以同时在多条生产线上工作。

2. 机器人工作空间分析

2.1 两连杆机器人

对于两连杆旋转关节机器人手臂的可及区域，手部的坐标((x, y))可以通过以下方程表示：
[
\begin{cases}
x = R_1 \sin \theta_1 + R_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \
y = R_1 \cos \theta_1 + R_2 \cos(\theta_1 + \theta_2)
\end{cases}
]
通过这些方程可以进一步推导得到其他相关方程。对于给定的手部位置((x, y))，可以使用相关方程求解关节角度(\theta_1)和(\theta_2)，这被称为逆运动学解。

工作区域的边界可以通过以下方式分析：
- 边界(CC_1)：将(\theta_2)固定在其最小值，然后让(\theta_1)在其范围内旋转得到。
- 边界(C_1C_2)：当(\theta_1)设置为最大值时，让连杆2在(\theta_2)的范围内旋转得到。
- 圆弧(C_2C_3)：表示(\theta_1)在最大值减去(\theta_2)时旋转的轨迹。
- 曲线(C_3C)：当(\theta_1)设置为最小值时，让(\theta_2)在其范围内旋转得到的路径。

这些曲线可以用代数方程表示，工作区域的面积可以通过以下分析表达式推导得出：
[
\begin{align }
area &= ABCC_1C_2A - AC_3C_2A - ABCC_3A \
&= (ABCA + ACC_1A + AC_1C_2A) - (AC_3C_2A + ABCC_3A) \
&= ACC_1A - AC_3C_2A \
&= \frac{1}{2} \theta_{1R} { (t_1^2 + t_2^2 + 2t_1t_2 \cos \theta_{2min}) - [ t_1^2 + t_2^2 + 2t_1t_2 \cos(\theta_{2min} + \theta_{2R}) ] } \
&= \theta_{1R} t_1 t_2 (\cos \theta_{2min} - \cos \theta_{2max})
\end{align }
]

这些分析推导可用于两连杆机器人的综合问题。例如，要设计一个两连杆机器人以到达第一象限内的一组指定工作位置(P_i(x_i, y_i))，(i = 1, 2, \cdots, n)，需要确定连杆长度和基座在工作空间中的位置，以获得最小的工作区域。可以通过计算机网格搜索，改变基座位置坐标，计算每个网格点的工作区域，找到给出最小面积的最佳点。

2.2 三连杆机器人

对于三连杆机器人，其总主要工作区域是通过将外部两个连杆的工作区域绕(\theta_1)的范围旋转得到的。典型工业机器人的工作区域可以通过相关图形展示。

三连杆机器人工作区域的边界方程较为复杂，工作区域的面积可以通过扇形面积的组合来计算：
[
\begin{align }
area &= sector\ OCC_4O + sector\ A_1C_4C_5 - sector\ AC_3C_2 - sector\ OC_2C_6 \
&= \theta_{1R} { R_1 R_2 (\cos \theta_{2min} - \cos \theta_{2max}) + R_2R_3 (\cos \theta_{3min} - \cos \theta_{3max}) + R_1R_3 [\cos(\theta_{2min} + \theta_{3min}) - \cos(\theta_{2max} + \theta_{3max})] } + \theta_{2R} R_2R_3 (\cos \theta_{3min} - \cos \theta_{3max})
\end{align }
]
当(R_3 = 0)时，该表达式可以简化为两连杆机器人的工作区域面积公式。

3. 极端距离

机械臂关节和手部的极端距离为机器人手臂的工作空间设计提供了有用信息。可以定义两种不同的极端距离：
- 第一种极端距离 ：是第一关节轴和手部轴之间的极端相互垂直距离。这个距离对于具有棱柱关节的机器人来说是一个特别重要的设计标准；对于旋转关节的机械臂，它用于描述关节变量对手部位置和方向的影响，还可用于机器人机械臂的力和扭矩分析。
- 第二种极端距离 ：是基点（通常选择在手臂第一关节的中心）和手部中心之间的距离。手部中心点与第一关节轴之间的极端垂直距离构成了第三种极端距离。对于位于中心位置以输送工件的机器人，这种极端距离是一个重要的设计参数。

对于最多三连杆的机器人手臂，可以使用三角函数方法推导这些极端距离；而对于超过三连杆的机器人，由于关节变量的非线性和冗长函数，会得到非常复杂的数学表达式。

3.1 两连杆机器人手臂

从原点(O)到点(H)的向量可以表示为相关形式，通过坐标变换可以将单位向量转换为((i, j, k))坐标。经过一系列推导，可以得到从(O)到手部中心的距离(y^2)的表达式：
[
y^2 = a_1^2 + d_1^2 + a_2^2 + d_2^2 + 2a_1a_2 \cos \theta_2 + 2d_1d_2 \cos \alpha_1 + 2d_1a_2 \sin \alpha_1 \sin \theta_2
]
通过求(y^2)的极值条件，可以得到相应的方程，求解该方程可以得到两个(\theta_2)的值，将其代入距离表达式中可以得到最大和最小距离。

3.2 三连杆机器人手臂

三连杆机器人的极端距离条件可以通过将两连杆手臂的推导扩展到三连杆得到。经过一系列的变换和推导，可以得到手部点(H)的位置向量(Y_3)的表达式，进而得到距离(y_3)的表达式：
[
\begin{align }
|y_3|^2 &= d_1^2 + a_1^2 + d_2^2 + a_2^2 + d_3^2 + a_3^2 + 2d_1 [d_2 \cos \alpha_1 + a_2 \sin \theta_2 \cos \alpha_1 + d_3 (\cos \alpha_1 \cos \alpha_2 - \cos \theta_2 \sin \alpha_1 \sin \alpha_2)] \
&+ 2a_1a_3 [\sin \theta_3 \cos \alpha_1 \sin \alpha_2 + \sin \alpha_1 (\sin \theta_2 \cos \theta_3 + \cos \theta_2 \sin \theta_3 \cos \alpha_2)] + 2a_1 [a_2 \cos \theta_2 + d_3 \sin \theta_2 \sin \alpha_2 + a_3 (\cos \theta_2 \cos \theta_3 - \sin \theta_2 \sin \theta_3 \cos \alpha_2)] \
&+ 2d_2 (d_3 \cos \alpha_2 + a_3 \sin \theta_3 \sin \alpha_2) + 2a_2a_3 \cos \theta_3
\end{align }
]
通过求极值条件，可以得到相应的方程，进而求解出相关参数。

4. 连杆参数的影响

对于任何机械臂，其总工作空间可以通过从终端设备开始依次旋转每个轴来获得。相对于最后一个关节轴的工作空间是一个圆，当这个圆绕下一个关节旋转时，会得到一个圆环。当相邻关节轴正交时，常见的锚环是圆环的正圆形形式。

对于一般的三关节机器人，工作区域会受到连杆参数(a_1)、(a_i)和(d_i)的影响。通过将终端设备位置的直角分量用连杆参数表示，可以研究这些参数的影响。通常可以使用具有图形功能的交互式计算机来确定工作区域的轮廓。

如果连杆长度(a_2)和(a_3)相等，工作区域将没有空洞，并且将(a_1)设置为零可以获得最大工作区域。对于对称工作区域，还可以将(\alpha_1)和(\alpha_2)设置为(0°)或(90°)，并将(d_2)和(d_3)设置为零。在(a_1 = 0)，(a_2 = a_3)，(d_2 = d_3 = 0)的条件下，角度(\alpha_2)不影响工作区域的形状；但当(\alpha_2)从(0°)增加到(90°)时，工作区域中的空洞会增加。当(\alpha_2)设置为(0°)或(180°)且连杆长度(a_2)和(a_3)相等时，对于所有(\alpha_1)的值，工作区域都没有空洞。第一个连杆参数(\alpha_1)不会影响工作区域的形状，但会使其垂直移动，而连杆参数(d_2)和(d_3)会影响工作区域中空洞的大小。

在机构学中，Grashof准则可用于分析平面四杆连杆机构具有完全可旋转曲柄的条件。确定机械臂的灵活工作空间类似于Grashof准则。对于手部绕中心点旋转的平面三连杆机械臂，闭环会形成一个四杆机构，其手部完全可旋转的相对尺寸可直接从Grashof定律推导得出。

一般来说，短手部有利于灵活工作空间的存在。例如，拟人化结构且无偏移的机械臂具有灵活工作空间，当选择中心点与手部轴线的交点重合时，工作空间具有特定的形式，在该空间内，手部可以在每个轴上完全旋转，灵活工作空间与可及工作空间相同。当手部尺寸增加时，灵活工作空间会减小并最终消失，同时总工作空间会增加；当手部尺寸超过一定值时，工作空间可能会发生重大的几何变化。

此外，基于机械臂手部固定点定位的分析可以扩展到研究机械臂连杆参数对固定在机械臂上的直线的位置和方向的影响。对于具有棱柱关节的机器人，使用线几何（基于Plucker坐标）是一种方便的技术，但这超出了本文的范围。

下面通过一个mermaid流程图来总结机器人工作空间分析的主要步骤：

graph TD;
    A[确定机器人类型] --> B{两连杆机器人};
    B -- 是 --> C[分析可及区域坐标方程];
    C --> D[推导工作区域边界和面积公式];
    D --> E[应用于综合问题求解];
    B -- 否 --> F{三连杆机器人};
    F -- 是 --> G[旋转外部两连杆工作区域];
    G --> H[确定边界方程和计算面积];
    F -- 否 --> I[考虑极端距离和连杆参数影响];
    I --> J[分析不同极端距离情况];
    J --> K[研究连杆参数对工作区域的影响];

总之，机器人工作空间的分析涉及多个方面，包括可及工作空间和灵活工作空间的定义、不同连杆机器人工作区域的计算、极端距离的推导以及连杆参数的影响等。这些分析对于机器人的设计、优化和应用具有重要意义。

机器人工作空间几何分析

5. 工作空间分析的实际应用

在实际的机器人设计和应用中，工作空间的分析起着至关重要的作用。以下是一些具体的应用场景：

5.1 机器人选型

在选择适合特定任务的机器人时，工作空间是一个关键的考虑因素。例如，在汽车制造行业中，需要机器人进行焊接、喷涂等操作。如果工作区域较大且形状复杂，就需要选择工作空间大且灵活的机器人。通过对不同机器人工作空间的分析和比较，可以选择最适合的机器人型号，提高生产效率和质量。

5.2 布局规划

在工厂的布局规划中，机器人的工作空间决定了其安装位置和周围设备的布置。以Spine机器人为例，由于其安装空间需求小，工作范围大，可以在有限的空间内同时布置多个机器人，实现多条生产线的协同工作。还可以根据机器人的工作空间，合理安排物料存放区、输送设备等，优化整个生产流程。

5.3 任务规划

在机器人执行任务时，工作空间的分析可以帮助进行任务规划。通过对工作区域的划分和对机器人可达区域的了解，可以合理安排机器人的运动路径，避免碰撞和干涉。同时，还可以根据工作空间的特点，选择最优的操作方式，提高机器人的工作效率。

6. 案例分析

为了更好地理解机器人工作空间分析的实际应用，下面通过一个具体的案例进行说明。

假设要设计一个用于电子元件组装的机器人，需要将电子元件从物料架上抓取并放置到电路板上。已知电子元件的放置位置分布在一个特定的区域内，需要确定适合的机器人类型和参数。

首先，根据电子元件的放置位置和分布范围，确定机器人需要覆盖的工作空间。假设该工作空间为一个矩形区域，长为(L)，宽为(W)。

然后，考虑选择两连杆机器人还是三连杆机器人。如果工作空间相对较小且形状规则，可以选择两连杆机器人；如果工作空间较大且需要更灵活的操作，则选择三连杆机器人。

假设选择两连杆机器人，根据工作空间的大小和形状，确定连杆长度和基座位置。可以使用前面提到的综合问题求解方法，通过计算机网格搜索，改变基座位置坐标，计算每个网格点的工作区域，找到给出最小工作区域的最佳点。

具体步骤如下：
1. 确定电子元件放置位置的坐标(P_i(x_i, y_i))，(i = 1, 2, \cdots, n)。
2. 设定连杆长度的初始范围和基座位置的搜索范围。
3. 对于每个网格点的基座位置，计算对应的连杆长度和工作区域面积。
- 根据坐标(P_i(x_i, y_i))，使用逆运动学方程求解关节角度(\theta_1)和(\theta_2)。
- 计算工作区域的边界和面积。
4. 比较所有网格点的工作区域面积，选择面积最小的点作为最优基座位置。
5. 根据最优基座位置，确定最终的连杆长度。

通过以上步骤，可以设计出适合电子元件组装任务的机器人，提高组装效率和精度。

7. 总结与展望

本文对机器人工作空间的几何分析进行了全面的介绍，包括可及工作空间和灵活工作空间的定义、不同连杆机器人工作区域的计算、极端距离的推导以及连杆参数的影响等。这些分析对于机器人的设计、优化和应用具有重要意义。

在未来的研究中，可以进一步深入探讨以下几个方面：
- 多机器人协作工作空间 ：随着工业自动化的发展，多机器人协作的应用越来越广泛。研究多机器人之间的工作空间协调和冲突避免，对于提高生产效率和安全性具有重要意义。
- 动态工作空间分析 ：在实际应用中，机器人的工作环境可能是动态变化的。研究动态工作空间的分析方法，能够使机器人更好地适应变化的环境，提高其灵活性和适应性。
- 基于人工智能的工作空间优化 ：利用人工智能技术，如机器学习、深度学习等，对机器人的工作空间进行优化，能够实现更智能、高效的机器人设计和应用。

下面通过一个表格总结机器人工作空间分析的主要内容：
|分析内容|具体要点|
| ---- | ---- |
|可及和灵活工作空间|可及工作空间是手部参考点能到达的体积，灵活工作空间是可及空间内手部可任意定向的区域|
|两连杆机器人工作区域|通过坐标方程推导边界和面积公式，用于综合问题求解|
|三连杆机器人工作区域|旋转外部两连杆工作区域确定边界和面积|
|极端距离|包括第一关节轴与手部轴、基点与手部中心等极端距离，用于设计和分析|
|连杆参数影响|影响工作区域形状、大小和空洞，短手部利于灵活工作空间存在|

通过以上的分析和总结，希望能够为机器人工作空间的研究和应用提供有益的参考。

graph TD;
    A[实际应用场景] --> B{机器人选型};
    B --> C[根据工作空间选合适型号];
    A --> D{布局规划};
    D --> E[根据工作空间布置设备];
    A --> F{任务规划};
    F --> G[合理安排运动路径和操作方式];
    H[案例分析] --> I[确定工作空间];
    I --> J{选择机器人类型};
    J -- 两连杆 --> K[确定连杆长度和基座位置];
    J -- 三连杆 --> L[考虑更复杂参数];
    M[未来研究方向] --> N{多机器人协作};
    M --> O{动态工作空间};
    M --> P{人工智能优化};