单调栈+树状数组——51nod1249 近似有序区间

题面:51nod1249
这题题解蛮少的(我没有看官方题解)而且貌似都是线段树,但是讨论里给出了一个很巧妙的做法
我们可以先求出第 i 位数作为最大值最远能延伸到的左端点b[i],和作为最小值最远能延伸到的右端点 c[i] ,这个用单调栈就可以了
然后我们可以发现对于任意一组 i,j(i<j) ,如果 b[j]<=i 而且 c[i]>=j ,区间 [i,j] 就是一组可行的区间。(想想就知道了)
所以我们再用树状数组维护一下就好了

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <ctime>
#include <map>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <climits>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
inline int read(){
    int k=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){k=k*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return k*f;
}
struct ppap{int x,y;}b[100010];
bool operator <(ppap a,ppap b){return a.x<b.x;}
int n,a[100010],s[100010],c[100010];
int f[100010];
inline void add(int x){for(;x<=n;x+=x&-x)f[x]++;}
inline int ssum(int x){int ans=0;for(;x;x-=x&-x)ans+=f[x];return ans;}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    int top=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(top&&a[i]>a[s[top]])top--;
        b[i].x=s[top]+1;b[i].y=i;
        top++;s[top]=i;
    }
    sort(b+1,b+n+1);
    top=0;
    for(int i=n;i;i--){
        while(top&&a[i]<a[s[top]])top--;
        if(!top)c[i]=n;else c[i]=s[top]-1;
        top++;s[top]=i;
    }
    int cnt=1,ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(b[cnt].x==i)add(b[cnt++].y);
        ans+=ssum(c[i])-ssum(i-1);
    }
    printf("%d",ans);
}
### 关于51Nod 3100 上台阶问题的C++解法 #### 题目解析 该题目通常涉及斐波那契数列的应用。假设每次可以走一步或者两步,那么到达第 \( n \) 层台阶的方法总数等于到达第 \( n-1 \) 层和第 \( n-2 \) 层方法数之和。 此逻辑可以通过动态规划来解决,并且为了防止数值过大,需要对结果取模操作(如 \( \% 100003 \)[^1])。以下是基于上述思路的一个高效实现: ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int MOD = 100003; long long f[100010]; int main() { int n; cin >> n; // 初始化前两项 f[0] = 1; // 到达第0层有1种方式(不移动) f[1] = 1; // 到达第1层只有1种方式 // 动态规划计算f[i] for (int i = 2; i <= n; ++i) { f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) % MOD; } cout << f[n] << endl; return 0; } ``` 以上代码通过数组 `f` 存储每层台阶的结果,利用循环逐步填充至目标层数 \( n \),并最终输出结果。 --- #### 时间复杂度分析 由于仅需一次线性遍历即可完成所有状态转移,时间复杂度为 \( O(n) \)。空间复杂度同样为 \( O(n) \),但如果优化存储,则可进一步降低到 \( O(1) \): ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int MOD = 100003; int main() { int n; cin >> n; long long prev2 = 1, prev1 = 1, current; if (n == 0 || n == 1) { cout << 1 << endl; return 0; } for (int i = 2; i <= n; ++i) { current = (prev1 + prev2) % MOD; prev2 = prev1; prev1 = current; } cout << prev1 << endl; return 0; } ``` 在此版本中,只保留最近两个状态变量 (`prev1`, `prev2`) 来更新当前值,从而节省内存开销。 --- #### 输入输出说明 输入部分接受单个整数 \( n \),表示台阶数量;程序会返回从地面走到第 \( n \) 层的不同路径数目,结果经过指定模运算处理以适应大范围数据需求。 ---
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