[学习] 哈希码：原理、用途与实现详解（C代码示例）

哈希码：原理、用途与实现详解

博主在《在C语言中使用字典》一文中，使用哈希来实现键值对的快速检索，今天对哈希这一算法工具，进行一些深入的研究，争取能能做到知其然亦知其所以然。

哈希码（Hash Code）是计算机科学中的核心概念之一，广泛应用于数据存储、检索、安全等领域。本文将从原理、数学表达式、用途和实现四个方面详细介绍哈希码，并提供一个完整的C语言实现示例。

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一、哈希码的原理

1.1 什么是哈希码？

哈希码是通过哈希函数将任意长度的数据（如字符串、文件等）映射为固定长度数值的过程。其核心思想是通过数学变换，将复杂的数据结构转换为一个唯一的标识符。

1.2 哈希函数的特性

哈希函数具有以下关键特性：

1. 单向性
   从原始数据计算哈希码是单向的，即无法通过哈希码反推出原始数据。
   $$\text{Hash}(x)=h\text{但}x\ne {\text{Hash}}^{-1}(h)$$

2. 确定性
   相同的输入数据始终生成相同的哈希码。
   $$x_1=x_2\Rightarrow \text{Hash}(x_1)=\text{Hash}(x_2)$$

3. 敏感性
   输入的微小变化会导致哈希码的显著改变。
   $$x_1\sim x_2\text{但}\text{Hash}(x_1)\ne \text{Hash}(x_2)$$

4. 均匀性
   哈希码在输出空间中均匀分布，减少冲突概率。
   $$\forall x,y,\text{Hash}(x)\approx \text{UniformDistribution}$$

1.3 哈希冲突

哈希冲突是指不同的输入生成相同的哈希码。由于哈希函数的输出空间有限，而输入空间无限，冲突是不可避免的。常见的解决方法包括：

• 链地址法：将冲突的键值对存储在链表中。
• 开放寻址法：通过探查算法寻找空闲位置。

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二、哈希的表达式

哈希函数的显性表达式因具体算法而异，以下是几种常见哈希函数的显性表达式及其数学形式：

2.1 通用哈希函数表达式

哈希函数的基本形式为：
$$\text{Addr}=H(\text{key})$$
其中：

• $\text{key}$：输入数据（字符串、数值等）。
• $H$：哈希函数。
• $\text{Addr}$：输出的哈希码（通常为固定长度的整数或二进制串）。

2.2 多项式哈希函数（Polynomial Hashing）

多项式哈希函数通过将输入字符串视为多项式系数，计算其模值：
$$H(s)=\left(\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i\cdot x^i\right)\mathrm{mod}m$$
其中：

• $s=a_0{a}_1\dots a_{n-1}$：输入字符串，长度为 $n$。
• $x$：基数（常选质数，如 31、37）。
• $m$：模数（通常为哈希表大小）。
• $mod$：取模（求余）运算。

示例：
对于字符串 “abc”（ASCII 码分别为 97, 98, 99），若 $x=31$, $m=1000$：
$$H("abc")=(97\cdot 31^0+98\cdot 31^1+99\cdot 31^2)\mathrm{mod}1000$$

2.3 DJB2 哈希函数

DJB2 是一种简单高效的哈希算法，其显性表达式为：
$$\text{hash}=((\text{hash}\ll 5)+\text{hash})+c$$
其中：

• $\ll$：左移运算（等价于乘以 $2^5=32$）。
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