[实战] 卡尔曼滤波：原理、推导与卫星导航应用仿真（完整代码）

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卡尔曼滤波：原理、推导与卫星导航应用仿真

摘要
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种利用线性系统动态模型和噪声统计特性，通过递归算法实现最优状态估计的方法。本文从贝叶斯估计理论出发，推导卡尔曼滤波的数学公式，揭示其“预测-修正”两阶段的核心思想。针对卫星导航中的定位误差问题，通过Python仿真验证卡尔曼滤波对动态目标轨迹的优化效果。仿真结果表明，在存在观测噪声和过程噪声的条件下，卡尔曼滤波可将定位误差降低约60%。代码实现涵盖状态建模、噪声协方差配置及可视化分析，完整代码可直接复现实验结果。

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一、卡尔曼滤波核心思想

1.1 状态估计问题

在动态系统中，真实状态 ${\mathbf{x}}_k$ 无法直接观测，只能通过带噪声的观测值 ${\mathbf{z}}_k$间接获取。卡尔曼滤波的目标是通过 ${\mathbf{z}}_1,{\mathbf{z}}_2,...,{\mathbf{z}}_k$递推估计${\mathbf{x}}_k$。

核心假设：

• 线性系统：${\mathbf{x}}_k={\mathbf{F}}_k{\mathbf{x}}_{k-1}+{\mathbf{B}}_k{\mathbf{u}}_k+{\mathbf{w}}_k$
• 观测模型：${\mathbf{z}}_k={\mathbf{H}}_k{\mathbf{x}}_k+{\mathbf{v}}_k$
• 噪声特性：${\mathbf{w}}_k\sim \mathcal{N}(0,{\mathbf{Q}}_k)$，${\mathbf{v}}_k\sim \mathcal{N}(0,{\mathbf{R}}_k)$

1.2 贝叶斯框架

卡尔曼滤波本质是贝叶斯后验概率的递推计算：
$$p({\mathbf{x}}_k|{\mathbf{z}}_{1:k})\propto p({\mathbf{z}}_k|{\mathbf{x}}_k)\cdot \int p({\mathbf{x}}_k|{\mathbf{x}}_{k-1})p({\mathbf{x}}_{k-1}|{\mathbf{z}}_{1:k-1})d{\mathbf{x}}_{k-1}$$
对于高斯噪声和线性系统，后验概率仍为高斯分布，可由均值（估计值）和协方差完全描述。

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二、数学推导

数学推导比较复杂枯燥，这里这里只对其进行标量简化推导

2.1 预测步骤（Priori Estimate）

• 状态预测：
  $${\hat{x}}_k^{-}=F{\hat{x}}_{k-1}+B{u}_k$$
• 协方差预测：
  $$P_k^{-}=F{P}_{k-1}{F}^T+Q$$

2.2 更新步骤（Posteriori Estimate）

• 卡尔曼增益：
  $$K_{}$$