39、无线通信中衰落信道的容量分析与性能比较

无线通信中衰落信道的容量分析与性能比较

一、SBX 衰落信道容量分析

1.1 衰落程度计算

在无线通信中，信道会经历不同程度的衰落，衰落程度的定义是对信道衰落严重性的一种估计，其表达式为：
[af = \frac{E[s^2]}{E[s]^2} - 1]
为了得到这个表达式的最终结果，首先需要将公式 (4) 代入公式 (6)，并利用特定的积分表 [15, (3.381.4)] 进行求解，得到 (E(s^v)) 的表达式：
[E(s^v) = \xi_Y \left(\frac{m_X}{\bar{X}}\right)^{m_X} \sum_{z = 0}^{\infty} \frac{\Gamma(m_Y + z) \Gamma(m_X + z + v)}{z! \Gamma(m_X + z) \Gamma(m_Y)} (\psi)^z \left(\frac{m_X}{\bar{X}}\right)^{-m_X - z - v}]
然后将 (v = 1) 和 (v = 2) 代入上式，再代入衰落程度公式进行求解。

1.2 自适应传输方案下的容量分析

为了应对不同的信道条件，采用了四种自适应传输方案来分析 SBX 衰落信道的容量，具体如下：
- CIFR（恒定信息速率） ：在 CIFR 方案中，发射机试图在不考虑信道条件的情况下支持固定的数据速率。它会根据信道衰落的严重程度调整发射功率，以应对衰落的影响。其信道容量表达式为：
[C_{CIFR} = B \log_2 \left(1 + \frac{1}{\int_{0}^{\infty} f_S(s) \frac{1}{s} ds} \right)]
其中，(B) 表示信道带宽（单位：赫兹）。通过使用积分表 [15, (3.381.4)] 对上述表达式进行求解，可得到 SBX 衰落信道下 CIFR 的最终表达式：
[C_{CIFR} = B \log_2 \left(1 + \frac{1}{\xi_Y (\psi)^{-z} \sum_{z = 0}^{\infty} \frac{\Gamma(m_Y + z) \Gamma(m_X + z - 1)}{n! \Gamma(m_X + z) \Gamma(m_Y)} \left(\frac{m_X}{\bar{X}}\right)^{-z + 1}} \right)]
- TIFR（阈值信息速率） ：CIFR 方案的缺点是在严重衰落时需要大量的功率来平衡。TIFR 方案克服了这一限制，当接收到的信噪比达到固定阈值 (s_{th}) 时，发射机才分配功率。其信道容量表达式为：
[C_{TIFR} = B \log_2 \left(1 + \frac{1}{\int_{s_{th}}^{\infty} f_S(s) \frac{1}{s} ds} \right) \times (1 - P_o)]
其中，(P_o) 是 SBX 衰落信道的中断概率，表达式为：
[P_o = \xi_Y \sum_{z = 0}^{\infty} \frac{\Gamma(m_Y + z)}{z! \Gamma(m_X + z) \Gamma(m_Y)} (\xi_X)^z g \left(m_X + z, \frac{m_X}{\bar{X}} s_o \right)]
首先，使用积分表 [15, (3.381.3)] 求解 (Y = \int_{s_{th}}^{\infty} f_S(s) \frac{1}{s} ds)，得到：
[Y = \xi_Y \sum_{z = 0}^{\infty} \frac{\Gamma(m_Y + z)}{z! \Gamma(m_X + z) \Gamma(m_Y)} (\psi)^z \left(\frac{m_X}{\bar{X}}\right)^{-z + 1} \Gamma \left(m_X + z - 1, \frac{m_X}{\bar{X}} s_{th} \right)]
最后将 (P_o) 和 (Y) 的表达式代入 (C_{TIFR}) 公式中，即可得到最终表达式。
- OPRA（最优功率和速率自适应） ：在 OPRA 方案中，发射端和接收端都可以获取信道的特性。其信道容量表达式为：
[C_{OPRA} = B \int_{0}^{\infty} \log_2 \left(\frac{s}{s_{th}} \right) f_S(s) ds]
其中，(s_{th}) 表示截止信噪比水平，当信噪比低于该值时，数据传输无法进行。该表达式需要满足条件：
[\int_{s_{th}}^{\infty} \left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s_{th}} \right) f_S(s) ds = 1]
将公式 (4) 代入上述条件并求解积分，得到：
[\xi_Y \sum_{z = 0}^{\infty} \frac{\Gamma(m_Y + z) (\psi)^z}{z! \Gamma(m_X + z) \Gamma(m_Y)} \left(\frac{m_X}{\bar{X}}\right)^{-z} \times \left{\frac{m_X}{\bar{X}} \Gamma \left(m_X + z - 1, \frac{m_X}{\bar{X}} s_{th} \right) - \frac{\Gamma \left(m_X + z, \frac{m_X}{\bar{X}} s_{th} \right)}{s_{th}} \right} = 1]
再利用 [18, (64)] 对 (C_{OPRA}) 表达式进行求解，得到 SBX 衰落信道下 OPRA 的最终表达式：
[C_{OPRA} = \xi_Y \left(\frac{m_X}{\bar{X}}\right)^{m_X} \sum_{z = 0}^{\infty} \frac{\Gamma(m_Y + z) (\psi)^z}{z! \Gamma(m_X + z) \Gamma(m_Y)} \frac{(m_X + z - 1)!}{\left(\frac{m_X}{\bar{X}} s_{th} \right)^{m_X + z}} \times \sum_{r = 0}^{m_X + z - 1} \frac{\Gamma \left(r, \frac{m_X}{\bar{X}} s_{th} \right)}{r!}]
- ORA（仅速率自适应） ：在 ORA 方案中，只有接收端可以获取信道的特性，而发射功率保持恒定。发射机根据信道的衰落条件调整传输速率。其信道容量表达式为：
[C_{ORA} = B \int_{0}^{\infty} \log_2 (1 + s) f_S(s) ds]
利用 [18, (78)] 对上述表达式进行求解，得到 SBX 衰落信道下 ORA 的最终表达式：
[C_{ORA} = B \xi_Y \left(\frac{m_X}{\bar{X}}\right)^{m_X} \sum_{z = 0}^{\infty} \frac{\Gamma(m_Y + z) (\psi)^z}{z! \Gamma(m_X + z) \Gamma(m_Y)} G_{3,1}^{2,3} \left(\frac{m_X}{\bar{X}} \left| \begin{array}{c} -m_X - z, 1 - m_X - z \ 0, -m_X - z, -m_X - z \end{array} \right. \right)]
其中，(G_{u,v}^{y,z}(\cdot)) 表示 Meijer G 函数。

1.3 数值结果分析

通过绘制不同自适应传输方案下信道容量与平均信噪比（SNR）的关系图，来直观地展示不同参数对信道容量的影响。具体分析如下：
- CIFR 方案 ：当衰落参数 (m_X) 从 2 增加到 4 时，在固定平均信噪比为 10 dB 的情况下，信道容量提高了 0.5 bits/s/Hz。同时，在较低的 SNR 值下，阴影参数 (m_Y = 50) 的曲线表现优于 (m_Y = 1) 的曲线。较低的 (m_Y) 值表示严重的阴影，而较高的 (m_Y) 值表示较轻的阴影。
- TIFR 方案 ：对于 TIFR 方案，当阴影参数 (m_Y) 固定为 1 时，在平均信噪比为 20 dB 的情况下，衰落参数 (m_X = 1) 和 (m_X = 4) 时的容量差异约为 1.5 bits/s/Hz。这是因为系统在较小的 (m_X) 值下性能会变差，而随着 (m_X) 值的增加，性能会得到改善。
- OPRA 和 ORA 方案 ：在固定阴影参数 (m_Y = 1) 的情况下，当平均信噪比为 15 dB 时，衰落参数 (m_X = 4) 时 OPRA 方案的容量约为 4.5 bits/s/Hz，而 (m_X = 1) 时约为 4 bits/s/Hz。在低 SNR 值下，OPRA 方案的容量优于 ORA 方案，而在高 SNR 值下，两者的容量趋于相同。随着衰落参数的增加，衰落的影响会减小。
- 不同方案的比较 ：当衰落参数 (m_X = 4) 和阴影参数 (m_Y = 1) 固定时，比较 TIFR、CIFR、OPRA 和 ORA 四种方案的容量。结果表明，OPRA 方案的容量优于 ORA、TIFR 和 CIFR 方案。在严重衰落时，发射机以全功率发射信号，但接收机可能无法恢复这些信号，从而降低了信道容量。在较高的平均 SNR 值下，TIFR 和 CIFR；OPRA 和 ORA 的容量会趋于相同。

1.4 结论

通过对 SBX 衰落信道下不同自适应传输方案的容量分析，可以得出以下结论：信道容量随着衰落参数 (m_X) 和阴影参数 (m_Y) 的增加而提高。在四种自适应传输方案中，OPRA 方案的容量表现最佳，而 CIFR 方案的容量最低。

二、L - SC 和 L - MRC 在不同衰落信道下的性能比较

2.1 引言

在无线通信系统中，信道会经历多径衰落效应，这是由于信号的反射、衍射和散射造成的。这些效应会扭曲信号，严重降低系统的整体性能。为了减少衰落的影响，采用了多种技术，其中分集技术是一种常用的方法。分集允许信号的多个相似副本通过独立的不同路径传输，并在接收端进行合并，从而降低了所有分支上衰落的总体概率，提高了接收信号的信噪比（SNR）。

2.2 分集技术

本文分析了两种分集技术：选择合并（SC）和最大比合并（MRC），并将其应用于 L 分支的不同衰落信道中，具体如下：
- 选择合并（SC） ：SC 是一种相对简单的分集技术，它只处理一个分集分支。在合并器中，选择具有最大 SNR 的分支。其输出 SNR 表达式为：
[s_{SC} = \max (s_1, s_2, \cdots, s_L)]
其中，(s_1, s_2, \cdots, s_L) 表示 L 个分集分支的瞬时接收 SNR。
- 最大比合并（MRC） ：MRC 是一种有效的接收技术，当干扰较小时，无论不同分集分支上的衰落统计如何，它都能表现良好。所有来自不同分集分支的输入信号在合并器输出端进行同相、按比例加权并代数相加。其输出 SNR 表达式为：
[s_{MRC} = \sum_{l = 1}^{L} s_l]
其中，(s_l) 表示第 (l) 个分集分支的瞬时接收 SNR，(l) 的取值范围是从 1 到 L。

2.3 性能分析

通过研究平均误比特率（ABER）和中断概率，来比较 L - SC 和 L - MRC 在 Rayleigh、Rician 和 Nakagami - m 三种不同衰落信道下的性能。具体的 ABER 表达式如下：
|衰落信道|分集技术|ABER 表达式|
| ---- | ---- | ---- |
|Rayleigh|SC|[P_{e,Rayleigh}^{SC}(s) = L \frac{1}{2} \sum_{q = 0}^{L - 1} \binom{L - 1}{q} (-1)^q \frac{1}{1 + q} \left[1 - \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1 + q}{\bar{s}}}} \right]]|
|Rayleigh|MRC|[P_{e,Rayleigh}^{MRC}(s) = \frac{A}{\sqrt{\frac{B}{2}} \Gamma \left(\frac{L + 1}{2} \right)} \frac{1}{2 \pi s^L (L - 1)! L} \left(\frac{B}{2} + \frac{1}{s} \right)^{L + \frac{1}{2}} {} 2F_1 \left(1, \frac{L + 1}{2}; L + 1; \frac{1}{s} \left(\frac{B}{2} + \frac{1}{s} \right) \right)]|
|Rician|SC|[P {e,Rician}^{SC}(s) = \frac{AL}{2 \pi s^2} \left(\frac{B}{2} \right) \sum_{q = 0}^{L - 1} \binom{L - 1}{q} (-1)^q e^{-(q + 1) \frac{1}{s} - K} \sum_{t = 0}^{\infty} \left(\frac{1}{t! e^K} - \sum_{k = 0}^{t - 1} \frac{K^k \Gamma(2 + t)}{k!} \right) \left(\frac{3}{2} + t \right) \left(\frac{B}{2} + \frac{1}{s} \right)^{2 + t} {} 2F_1 \left(1, 2 + t; \frac{5}{2} + t; \frac{1}{s} \left(\frac{B}{2} + \frac{1}{s} \right) \right)]|
|Rician|MRC|[P {e,Rician}^{MRC}(s) = \frac{A}{2 \pi} \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{K^m e^K}{m! \Gamma(m + L)} G_{2,1}^{2,2} \left(\frac{Bs}{2(L + K)} \left| \begin{array}{c} -L - m + 1, 1 \ 0, 0.5 \end{array} \right. \right)]|
|Nakagami - m|SC|[P_{e,Nakagami}^{SC}(s) = \frac{AB}{2 \pi \Gamma(B) \Gamma(m)} \sum_{j = 0}^{L - 1} \sum_{k = 0}^{j(m - 1)} \sum_{i = k - (m - 1)}^{k} (-1)^j \frac{D_i(j - 1)}{(k - i)!} \binom{L - 1}{j} \frac{\Gamma(m + k + B) \left(\frac{m}{\bar{s}} \right)^{m + k}}{(m + k) \left(A + \frac{(j + 1)m}{\bar{s}} \right)^{m + k + B}} {} 2F_1 \left(1, 2 + t; \frac{5}{2} + t; \frac{1}{s} \left(\frac{B}{2} + \frac{1}{s} \right) \right)]|
|Nakagami - m|MRC|[P {e,Nakagami}^{MRC}(s) = \frac{A}{2 \pi \Gamma(mL)} \left(\frac{B}{2} \right) \left(\frac{m}{\bar{s}} \right)^{mL} \frac{\Gamma(mL + \frac{1}{2})}{mL} \left(\frac{B}{2} + \frac{m}{\bar{s}} \right)^{mL + \frac{1}{2}} {}_2F_1 \left(1, mL + \frac{1}{2}; mL + 1; \frac{m}{\bar{s}} \left(\frac{B}{2} + \frac{m}{\bar{s}} \right) \right)]|

其中，(L) 表示分集分支的数量，(s) 表示输出 SNR，(\bar{s}) 表示平均输出 SNR，(\Gamma(\cdot)) 表示伽马函数，({}_2F_1(\cdot)) 表示超几何函数，(K) 表示 Rician 因子，(m) 表示 Nakagami - m 衰落参数，(A) 和 (B) 是与调制方式相关的参数（对于二进制 PSK 调制，(A = 1)，(B = 2)）。

2.4 结论

通过对不同衰落信道下 L - SC 和 L - MRC 分集技术的性能分析，可以得出以下结论：在不同的衰落信道中，MRC 技术通常比 SC 技术具有更好的性能，能够提供更高的信噪比增益和更低的误比特率。同时，不同的衰落信道对系统性能的影响也不同，例如在 Rayleigh 衰落信道中，随着分集分支数量的增加，系统的性能会得到显著改善。在实际应用中，需要根据具体的信道条件和系统要求，选择合适的分集技术和调制方式，以提高无线通信系统的性能。

综上所述，无论是 SBX 衰落信道下的容量分析，还是不同衰落信道下 L - SC 和 L - MRC 分集技术的性能比较，都为无线通信系统的设计和优化提供了重要的理论依据和参考。通过合理选择自适应传输方案和分集技术，可以有效地提高信道容量，降低误比特率，从而提升无线通信系统的整体性能。

三、总结与展望

3.1 关键要点总结

• SBX 衰落信道容量分析
  • 通过计算衰落程度，采用四种自适应传输方案（CIFR、TIFR、OPRA、ORA）对 SBX 衰落信道容量进行分析。
  • 数值结果表明，信道容量随衰落参数 (m_X) 和阴影参数 (m_Y) 的增加而提高，OPRA 方案容量最佳，CIFR 方案容量最低。
• L - SC 和 L - MRC 在不同衰落信道下的性能比较
  • 研究了选择合并（SC）和最大比合并（MRC）两种分集技术在 Rayleigh、Rician 和 Nakagami - m 衰落信道下的性能。
  • 平均误比特率（ABER）和中断概率的分析显示，MRC 技术通常比 SC 技术性能更好，不同衰落信道对系统性能影响不同。

3.2 未来研究方向

• 新的自适应传输方案 ：探索更高效的自适应传输方案，以进一步提高信道容量和系统性能。例如，可以结合多种自适应策略，根据实时信道条件动态调整传输参数。
• 新型分集技术 ：研究新型的分集技术，以应对复杂多变的无线信道环境。例如，开发基于人工智能的分集技术，通过学习信道特征自动选择最优的合并方式。
• 多用户场景 ：将研究扩展到多用户场景，分析多个用户同时使用信道时的容量和性能。考虑用户之间的干扰和协作，优化系统资源分配。

3.3 决策流程图

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px

    A([开始]):::startend --> B{选择分析场景}:::decision
    B -->|SBX 衰落信道| C(计算衰落程度):::process
    B -->|不同衰落信道| D(选择分集技术):::process
    C --> E(采用自适应传输方案):::process
    E --> F(分析信道容量):::process
    F --> G(绘制数值结果图):::process
    D --> H(确定衰落信道类型):::process
    H --> I(计算 ABER 和中断概率):::process
    I --> J(比较 L - SC 和 L - MRC 性能):::process
    G --> K([结束]):::startend
    J --> K

3.4 总结表格

研究内容	关键结论	未来研究方向
SBX 衰落信道容量分析	信道容量随 (m_X) 和 (m_Y) 增加而提高，OPRA 方案最佳，CIFR 方案最差	新的自适应传输方案、多用户场景分析
L - SC 和 L - MRC 在不同衰落信道下的性能比较	MRC 技术通常优于 SC 技术，不同衰落信道影响不同	新型分集技术、多用户场景研究

通过对无线通信中衰落信道的容量分析和性能比较的研究，我们深入了解了不同信道条件下的系统特性。在未来的研究中，我们可以不断探索新的技术和方法，以提高无线通信系统的性能和可靠性，满足日益增长的通信需求。