55、拓扑空间模态逻辑的可变可达模型与粗糙集理论中的启发式约简算法

拓扑空间模态逻辑的可变可达模型与粗糙集理论中的启发式约简算法

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在模态逻辑里，有几个重要的公理模式：
- M: 2(p∧p′) →(2p∧2p′)
- C: (2p∧2p′) →2(p∧p′)
- N: 2⊤

这些公理模式在任何克里普克模型中都是有效的，这表明克里普克语义在其框架下无法区分这些模式。而邻域语义则可以做到，因为它具有与之对应的性质。若想使某个公理（如 C）无效，可通过移除对应的条件（如 [c]）来实现。需要注意的是，这些公理模式不一定相互独立。

最后一个条件 [a] 起着非常重要的作用，通过它，我们可以得到从 x 出发的世界集合与 NR(x) 之间的关系：UR(x) = ∩NR(x)。

当邻域框架 ⟨U,N⟩ 的函数 N 满足 [m]、[c] 和 [n] 这三个条件时，它被称为滤子。在不引起混淆的情况下，滤子也指基于滤子的邻域模型。最小的正规系统 K 相对于滤子类是可靠且完备的，但要注意，滤子类并不等同于克里普克模型类。

若滤子满足 [a]，则称其为增强滤子。此时，每个 N(x) 都有最小元素 ∩N(x)，我们可以通过它来定义可达关系 RN：xRNy ⇔ y ∈∩N(x)。这样，增强邻域模型就通过上述公式与对应的克里普克模型等价。所以，最小的正规系统 K 相对于增强邻域模型类是可靠且完备的。

以下是函数 N 的各种性质及其对应的公理模式的表格：
| 性质 | 公理模式 |
| — | — |
| [m] (X ∈N(x) and X ⊆X′) ⇒X′ ∈N(x) | M. 2(p∧p′) →(2p∧2p′) |
| [c]