6、算法分析：从O符号到复杂度评估

算法分析：从O符号到复杂度评估

1. O符号简介

O符号是一种用于正式表达算法性能的常见符号。从形式上来说，O符号表示一个函数在常数因子范围内的上界。具体而言，如果g(n)是f(n)的上界，那么对于某个常数c，总能找到一个值n₀，使得当n ≥ n₀时，有f(n) ≤ cg(n)。

通常，我们将算法的性能表示为其处理数据大小的函数。对于大小为n的数据，用函数f(n)来描述算法的性能。不过，虽然很多情况下我们能精确确定f(n)，但通常并不需要如此精确。我们主要关注的是f(n)的增长率，它描述了随着处理数据规模的任意增大，算法性能下降的速度。算法的增长率或增长阶非常重要，因为它最终决定了算法对于任意输入的效率，而O符号反映了算法的增长阶。

2. O符号的简单规则

当从增长率的角度看待函数f(n)时，有几个要点很明显：
- 忽略常数项 ：随着n的值越来越大，常数项最终会变得无关紧要。例如，若T(n) = n + 50描述了一个算法的运行时间，当n（处理数据的大小）为1024时，常数项在运行时间中所占比例已不到5%。
- 忽略项的常数乘数 ：随着n的增加，常数乘数也会变得不重要。例如，若T₁(n) = n²和T₂(n) = 10n描述了解决同一问题的两个算法的运行时间，当n > 10时，T₁就会大于T₂。
- 只考虑最高阶项 ：随着n的增加，高阶项会迅速超过低阶项。例如，若T(n) = n² + n描述了一个算法的运行时间，当n = 1024时，低阶项在运行时间中所占比例不到0.1%。

这些思想被形