【每日一题】汉诺塔

董一峰

已于 2022-11-04 15:33:08 修改

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分类专栏：每日一题递归文章标签：算法递归

于 2022-11-04 15:28:15 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/junxinsiwo/article/details/127689998

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本文介绍了汉诺塔问题的起源、规则及解题思路。通过递归方式详细解析了如何解决汉诺塔问题，并给出了具体的状态判断算法。文章探讨了不同圆盘位置对应的不同状态，分析了最优移动轨迹中的状态计数，并提供了时间复杂度为O(N)的解决方案。

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汉诺塔：汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。

汉诺塔问题分三步：

将 0 ~ n -1 号圆盘从 from 柱子移动到 other 柱子。
将 n 号圆盘从 from 柱子移动到 to 柱子。
将 0 ~ n - 1 号圆盘从 other 柱子移动到 to 柱子。

def hanoi(n):
    if n <= 0: return
    func(n, "左", "右", "中")

def func(i, start, end, other):
    if i == 1:
        print("Move 1 from " + start + " to " + end)
        return
    func(i - 1, start, other, end)
    print("Move " + str(i) + " from" + start + " to " + end)
    func(i - 1, other, end, start)

hanoi(3)

汉诺塔游戏的要求把所有的圆盘从左边都移到右边的柱子上，给定一个整型数组arr，其中只含有1、2、3，代表所有圆盘目前的状态，1 代表左柱，2代表中柱，3 代表右柱，arr[i] 的值代表第 i + 1 个圆盘的位置。

比如：arr = [3,3,2,1] ，代表第 1 个圆盘在右柱上，第 2 个圆盘在右柱上，第 3 个圆盘在中柱上，第 4 个圆盘在左柱上。

如果 arr 代表的状态是最优移动轨迹过程中出现的状态，返回 arr 这种状态是最优移动轨迹中第几状态；如果 arr 代表的状态不是最优移动轨迹过程中出现的状态，则返回 -1。

解法一：暴力递归

分析：

结论：n 层汉诺塔一共需要