18、多边形可见性图相关问题研究

多边形可见性图相关问题研究

1. 最短路径问题

在多边形路径规划领域，最短路径问题一直是研究的核心。对于一个具有 $h$ 个非凸洞且总共包含 $n$ 个顶点的多边形 $P$，其内部两点间的欧几里得最短路径可在 $O(n + h^2 \log n)$ 时间内计算得出。

1.1 欧几里得最短路径计算方法

• 利用可见性图 ：可见性图在计算多边形内两点 $s$ 和 $t$ 间的欧几里得最短路径 $SP(s, t)$ 时发挥了重要作用。不过，即使不部分或完全计算多边形 $P$ 的可见性图，也能计算出 $SP(s, t)$。
• 连续 Dijkstra 范式 ：Mitchell 提出了一个时间复杂度为 $O(n^{1.5 + \epsilon})$ 的算法；Hershberger 和 Suri 先给出了 $O(n \log^2 n)$ 时间的算法，后将其复杂度优化至最优的 $O(n \log n)$。
• 结合可见性图与 Voronai 图 ：Wein 等人展示了通过结合多边形 $P$ 的可见性图和 Voronai 图，可构建一条从 $s$ 到 $t$ 的短而平滑的路径，该路径虽不一定是 $SP(s, t)$，但能尽可能与多边形内的洞保持一定间隙。

1.2 测地路径相关概念及计算

欧几里得最短路径在多边形中也被称作测地路径，两点间测地路径的长度即为测地距离。简单多边形 $P$ 的测地直径是其所有顶点对间的最大测地距离，可由 Hershberger 和 Suri 的算法